Question

Bestimmen Sie für das Vektorfeld F das Kurvenintegral entlang gamma über [0,1].

$F=(y+z, z+x, x+y)^{\top}$ und $\gamma(t)=(1-\sin (\pi t), \cos (\pi t), t)^{\top}$

Mein Ansatz:

Problem:

Ich muss nun die Integrale ausrechnen. Die Rechnung wird aber viel zu lang. Die einzelnen Integrale sind zu groß. Gibt es etwas, dass ich übersehe? Oder ist mein Ansatz richtig?

Mfg

Answer 1

Hallo,

man kann zu dem gegebenen Feld leicht ein Potential

$$\phi(x,y,z)=xy+xz+yz$$ berechnen.

Dann ist das Kurvenintegral nur von Anfang und Endpunkt abhängig, daher

$$I=\phi(1,-1,1)-\phi(1,1,0)=-1-1=-2$$

Comments

das ist ein sehr einfacher weg.

aber woher weiß ich, dass es ein potential dazu gibt?

hier gibt es einen. aber wenn es keinen gibt, möchte ich nicht so viel zeit verschwenden.

ist es weil rotF= 0 ist?

und dann kann ich eben ein potential rechnen und wenn es klappt dann handelt es sich hierbei um einen gradientenfeld?

dann kann ich endpunkt - anfangspunkt machen?

oder muss noch die folgende bedingung kontrollieren: "F muss einfach zusammenhängend sein"... aber die bedingung verstehe ich nciht.

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Hallo,

dass ein Potential existiert, hat Tschaka in seiner Antwort bereits gezeigt, die Rotation des Feldes gibt 0.

Das Potential kann man berechnen, hier habe ich es aber durch "scharfes Hinsehen" ermittelt, das Feld F ist ja relativ einfach. Überprüfe durch partielles Ableiten.

oder muss noch die folgende bedingung kontrollieren: "F muss einfach zusammenhängend sein"... aber die bedingung verstehe ich nciht.

Du meinst, das ein Gebiet U einfach zusammenhängend sein muss.

Die Funktion F bildet von U nach R³ ab:

F: U → R³

Die Eigenschaft musst du nur nachprüfen, wenn ein U gegeben ist. Ansonsten ist hier U=R³, und R³ ist einfach zusammenhängend.

Answer 2

Hallo

 bei mir sind das sehr einfache Integrale, da das über sin² und cos² bei den grenzen gleich ist

 heben sie sich weg,  sin+cos kannst du als eines um 1/4 verschobenen sin darstellen, der Rest ist nicht viel, also ein bissel rechnen muss man schon oder nen Integralrechner bemühen.

Gruß lul

Comments

sin²(...)-cos²(...) kürzen sich weg von 0 bis 1. das ist klar.

alles andere habe ich mit wolfram ausgerechnet.

komme auf 2+4/PI... was offenbar falsch ist.

sin+cos muss ich nicht umschreiben, die sind als seperate terme einfach zu integriegeren

oder meinst du die beiden terme mit t als faktor?

mfg

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Ok es waren wohl nur ein paar Rechenfehler drin.

komme nun auch auf -2

mfg

Answer 3

Aloha :)

Wenn du dir das Vektorfeld genau ansiehst, erfüllt es die Integrabilitätbedingungen:

$$\vec F=\left(\begin{array}{c}y+z\\z+x\\x+y\end{array}\right)\quad\Rightarrow\quad\vec\nabla\times F=\left(\begin{array}{c}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}y+z\\z+x\\x+y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1-1\\1-1\\1-1\end{array}\right)=\vec 0$$Das heißt, der Wert des Integrals ist unabhängig vom Weg $\gamma$, der vom Start- zum Endpunkt gewählt wird. Daher schlage ich vor, eine Abkürzung $c(t)$ zu nehmen:

$$\gamma(0)=\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)\quad;\quad\gamma(1)=\left(\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right)\quad;\quad \vec c(t):=\left(\begin{array}{c}1\\1-2t\\t\end{array}\right)\;\;;\;\;t\in[0|1]$$Der vorgeschlagene Weg $c(t)$ verbindet Start- und Endpunkt, ist aber einfacher zu berechnen:

$$E=\int\limits_{\gamma(0)}^{\gamma(1)}\left(\begin{array}{c}y+z\\z+x\\x+y\end{array}\right)\,d\gamma=\int\limits_{c(0)}^{c(1)}\left(\begin{array}{c}y+z\\z+x\\x+y\end{array}\right)\,d\vec c=\int\limits_0^1\left(\begin{array}{c}y+z\\z+x\\x+y\end{array}\right)\,\frac{d\vec c}{dt}\,dt$$$$\phantom{E}=\int\limits_0^1\left(\begin{array}{c}(1-2t)+t\\t+1\\1+(1-2t)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\-2\\1\end{array}\right)\,dt=\int\limits_0^1\left(-2t-2+2-2t\right)dt$$$$\phantom{E}=\int\limits_0^1(-4t)dt=\left[-2t^2\right]_0^1=-2$$

Comments

Ok verstehe.

Also weil die Rotation = 0 ist, kann man endpunkt - anfangpunkt bei einem wegintegral machen.

das bau man hier also auf diese weise ein...

gute abkürzung, die ich mir merken werde.

Aber ich wollte es eigentlich auf dem normalen weg machen

mfg

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ich verstehe nicht wie man auf c(t) kommt?

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Hallo

 eine Geradenstück , das von einem zum anderen Punkt geht kannst du doch sicher hinschreiben, dann hast du c(t)

lul

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ok verstehe. das hast du selber aufgestellt.

macht sinn

danke