Rotationskörper Kugel - Oberfläche- Mantelfläche

Question

Hallo ich habe noch ein Problem bei folgender Aufgabe,

Es muss die Oberfläche einer Kugel mit einem Radius von 3/2 berechnet werden.

 hier muss die Kurve rotiert werden, die durch die Funktion y=f(x)=√r²-x² definiert wird, um die x-Achse und es muss die Mantelfläche M des Rotationskörpers auf einem passenden Intervall.

 die Lösung muss als Vielfaches von π angegeben werden.

:-)

Comments

Hallo

 du kennst die Formel für die Berechnung ? sonst sieh sie nach, woran scheiterst du?

Gruß lul

Answer 1

Oberfläche einer Kugel

f(x) = √(r^2 - x^2)
f'(x) = - x/√(r^2 - x^2)
f'(x)^2 = x^2/(r^2 - x^2)

a(x) = 2·pi·f(x)·√(1 + f'(x)^2)
a(x) = 2·pi·√(r^2 - x^2)·√(1 + x^2/(r^2 - x^2))
a(x) = 2·pi·√(r^2 - x^2)·√(r^2/(r^2 - x^2))
a(x) = 2·pi·√(r^2 - x^2)·r/√(r^2 - x^2)
a(x) = 2·pi·r
A(x) = 2·pi·r·x

∫ (-r bis r) a(x) dx = A(r) - A(-r) = (2·pi·r·r) - (2·pi·r·(-r)) = 4·pi·r^2

Bitte sorgfältig prüfen. Ich hab das erstmal nur so runter geschrieben.

Answer 2

Aloha :)

Die Oberfläche eines Rotationskörpers um die $x$-Achse ist:$$F=2\pi\int_If(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$$Für die gegebene Funktion $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ benötigen wir die Ableitung:$$f'(x)=\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{r^2-x^2}}}_{=äußere}\cdot\underbrace{(-2x)}_{=innere}=-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}=-\frac{x}{f(x)}$$Damit gehen wir in die Flächenformel:$$F=2\pi\int\limits_{-r}^rf(x)\sqrt{1+\left[-\frac{x}{f(x)}\right]^2}dx=2\pi\int\limits_{-r}^r f(x)\sqrt{1+\frac{x^2}{f^2(x)}}dx$$$$\phantom{F}=2\pi\int\limits_{-r}^r f(x)\sqrt{\frac{f^2(x)+x^2}{f^2(x)}}dx=2\pi\int\limits_{-r}^r f(x)\cdot\frac{1}{f(x)}\sqrt{f^2(x)+x^2}dx$$$$\phantom{F}=2\pi\int\limits_{-r}^r\sqrt{(r^2-x^2)+x^2}dx=2\pi\int\limits_{-r}^r\sqrt{r^2}dx=2\pi\int\limits_{-r}^rrdx$$$$\phantom{F}=2\pi\left[rx\right]_{x=-r}^r=2\pi\left(r^2-(-r^2\right)=4\pi r^2$$Speziell für $r=\frac{3}{2}$ erhalten wir:$$F\left(r=\frac{3}{2}\right)=4\pi\left(\frac{3}{2}\right)^2=4\pi\cdot\frac{9}{4}=9\pi$$