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Seien X und Y verschiedene Punkte in der Ebene  .

zu Beweisen ist,dass die  Spiegelung durch die Achse g(X,Y) für einen beliegen Punkt P ∈ Ebene  durch folgenden Ausdruck gegeben ist:


$$ s(P)=P+2\left(X+\frac{\langle Y-X | P-X\rangle}{\|Y-X\|^{2}}(Y-X)-P\right) $$


Ansatz:

Ich hab mir überlegt eine beliebige Basis (A,B) in der Eben zu wählen und X,Y sowie P mal in Koordinaten dieser Basis zu beschreiben. soll heißen: P = p1*A+p2*B , X = x1*A+x2*B und Y = y1*A+y2*B

Ich hab jetzt mehr mals probiert damit zu rechnen aber ich komm irgendwie beim Inneren Produkt nicht weiter. Haben bist jetzt nämlich nur mit dem allgemeinen inneren produkt gearbeitet


Gruß

von

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Hallo,

... und X,Y sowie P mal in Koordinaten dieser Basis zu beschreiben.

das brauchst Du gar nicht. Schau Dir folgende Skizze an:

Untitled6.png

und vorher schreibe ich die 'Spiegelgleichung' noch etwas um $$s(P)=P+2\left(\frac{\langle Y-X | P-X\rangle}{\|Y-X\|^{2}}(Y-X)-(P-X)\right) $$und betrachten zunächst nur das innere Produkt (bzw. Skalarprodukt). Das multipliziere ich mit dem EInheitsvektor in Richtung \(Y-X\) und dividiere anschließend nochmal durch den Betrag \(|Y-X|\)$$\begin{aligned} \left< Y-X, \, P-X\right> &= |Y-X|\cdot |P-X| \cdot \cos(\alpha) \\ \left< Y-X, \, P-X\right> \cdot \frac{Y-X}{|Y-X|}&= |Y-X|\cdot |P-X| \cdot \cos(\alpha) \cdot \frac{Y-X}{|Y-X|} \\ \frac{ \left< Y-X, \, P-X\right>}{|Y-X|^2} (Y-X)&= \underbrace{|P-X| \cdot \cos(\alpha)}_{=|XM|} \cdot \frac{Y-X}{|Y-X|} \end{aligned}$$links steht nun der gleiche Term wie oben in der Gleichung und rechts steht doch der Vektor \(\vec{XM}\). Und es ist doch offensichtlich$$\vec{PM} = -(P-X) + \vec{XM}$$(siehe Skizze) und weiter muss gelten$$P' = P + 2 \vec{PM} = s(P)$$Frage bitte nach, falls etwas unklar ist.


Alternative Lösung:

\(s(P)\) liefert genau dann den Spiegelpunkt \(P'\), wenn \(s(P)P\) senkrecht zu \(Y-X\) steht und der Mittelpunkt \(M\) von \(s(P)P\) auf \(g(X,Y)\) liegt:$$\left< s(P) - P, Y-X \right> = 0 \\ \frac 12 (s(P) + P) - X = t (Y-X), \quad t \in \mathbb R$$

von 36 k

Hallo vielen Dank für deine sehr ausführliche Antwort.

Mir ist fast alles klar, dass einzige was mir ein wenig unklar ist ist die Defintion des inneren Produktes. Wir haben das bis jetzt immer ohne Winkel definiert. also statt dem Winkel kam bei uns immer das Projektiontsverhältnis der positiven Halbgeraden am Ende dazu - Kann man das so irgendwie auch rechnen? oder ist man auf dem Winkel angewiesen?


multipliziere ich mit dem EInheitsvektor in Richtung Y−X und dividiere anschließend nochmal durch den Betrag |Y−X|

und wie genau bist du auf den Schritt gekommen? Ist das mehr oder weniger ein "educated guess" oder steckt dahinter ein Logik die ich aus der Skizze gerade nicht erkenne?


vielen dank schonmal

gruß,

... also statt dem Winkel kam bei uns immer das Projektionsverhältnis der positiven Halbgeraden

das geht genauso. Ich wüßte jetzt aber nicht auf Anhieb wie man das hinschreibt.

und wie genau bist du auf den Schritt gekommen?

ich frage mich immer, was die einzelne Terme in so einem Ausdruck bedeuten. Gerade wenn ich mir das Skalarprodukt als Projektion von einem Vektor auf den anderen vorstelle, kommt man IMHO recht fix drauf.

Ich habe Dir noch eine alternative Lösung dazu geschrieben. Die ist rein analytisch.

Hey danke nochmal bin mittlerweile draufgekommen warum du mit dem Einheitsvektor erweitert hast, hab nur bissl mehr auf die Grafik schauen müssen :D


Wegen dem Projektionsverhältnis muss ich schaun vlt gibts ja irgendeinen Weg das auf cos alpha zurückzuleiten um dann damit zu rechnen :)


Danke dir vielmals!!

gruß

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