Ungleichungen benötige Hilfe!

Question

|x-1|≤1/2X+2 habe ich gegeben und soll alle Lösungen der Ungleichung herausfinden 

Und eine Fallunterscheidung durchführen.

Mit freundlichen Grüßen

Comments

Was hat diese Ungleichung mit komplexen Zahlen zu tun? Und heißt der rechte Term wirklich

\( \frac{1}{2} \) X+2 ?

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ja 1/2x+2...

Das mit Komplexen Zahlen war ein Fehler..

Answer 1

|x - 1| ≤ 1/2·x + 2

1. Fall: x - 1 ≥ 0 bzw. x ≥ 1
x - 1 ≤ 1/2·x + 2
1/2·x ≤ 3
x ≤ 6 → 1 ≤ x ≤ 6

2. Fall: x - 1 ≤ 0 bzw. x ≤ 1
-(x - 1) ≤ 1/2·x + 2
- x + 1 ≤ 1/2·x + 2
- 1 ≤ 3/2·x
- 2/3 ≤ x --> - 2/3 ≤ x ≤ 1

Lösungszusammenfassung
- 2/3 ≤ x ≤ 6

Comments

Vielen Dank für die Antwort!!

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Könnten Sie noch mal zeigen wie Sie in Fall 1 die Gleichung nach x gelöst haben?

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Hat sich geklärt

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Freut mich wenn du es verstanden hast. Wenn du trotzdem noch Hilfe benötigst oder Verständnisschwierigkeiten hast melde dich gerne.

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Mach ich vielen Dank!

Answer 2

1, Fall: x>=1

x-1 <=1/2x+2

1/2x <=3

x<=6 → L=[1;6]

2. Fall: x<1

-x+1<=1/2x+2

3/2x >=-1

x>= -2/3  → L= [-2/3;1[

L = [-2/3; 6]

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Vielen Dank für die Antwort!!

Answer 3

|x+1|≤1/2x+2 ⇔ 2|x-1|≤x+4 ⇔ 2√(x-1)≤x+4

⇒ 4(x-1)≤(x+4)^2

⇔ 0≤x^2+4x+20 ⇔ 0≤(x+2)^2-16 ⇔ 16≤(x+2)^2

dies gilt für x in [-2/3, 6]

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Vielen Dank für die Antwort!!

Answer 4

|x-1| ≤ 1/2 * x + 2
Fallunterscheidung bei
x - 1 ≥ 0
1.)
x ≥ 1
Dafür gilt
x-1 ≤ 1/2 * x + 2
1/2 * x ≤ 3
x ≤ 6
Beide Bedingungen
( x ≥ 1 ) und ( x ≤ 6 )
1 ≤ x ≤ 6

2.)
x < 1
Dafür gilt
|x-1| = ( x -1) *(-1)

( x -1) *(-1)  ≤ 1/2 * x + 2
-x + 1 ≤ 1/2 * x + 2
- 3/2 * x ≤ 1 | * -1
3/2 * x > -1
x > -2/3

Beide Bedingungen
(  x < 1 ) und ( x > -2/3 )
-2/3 < x < 1

Fall 1.) und 2.) Lösungsmenge
-2/3 < x < 6

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Oder einfacher
Die linke Seite ist stets 0 oder positiv
|x-1| ≤ 1/2 * x + 2
Damit die Ungleichung stimmt muß es die rechte Seite auch sein.

|x-1| ≤ 1/2 * x + 2  | quadrieren
( x -1 ) ^2 ≤ ( 1/2 * x + 2 )
x^2 - 2x + 1 ≤ 1/4 x^2 + 2x + 4
3/4 * x^2 - 4x ≤ 3 | * 4/3
x^2 - 16/3 x ≤ 4
x^2 - 16/3 x  + ( 8/3)^2 ≤ 4 + (8/3)^2

( x - 8/3 ) ^2 ≤ 36/9 + 64/9
-10/3 ≤ x - 8/3 ≤ 10/3
-2/3 ≤ x ≤ 6

Naja, kürzer ist es auch nicht unbedingt

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Vielen Dank für die Antwort!!