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Folgende Ebene ist gegeben

E1: \( \vec{r} \) (λ;µ) = \( \begin{pmatrix} 2\\3\\2 \end{pmatrix} \) + λ \( \begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix} \) + μ \( \begin{pmatrix} 5\\3\\1 \end{pmatrix} \)

E2 : -5x + 4y -13z -28 = 0

Aufgabe bestimme die schnittgerade

x = 2 + λ + 5μ

y = 3 - 2λ + 3μ

z = 2 + λ + μ

Nach λ auflösen, λ = -2 -μ

λ In die Parameterform einsetzen

  g : \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 2\\3\\2 \end{pmatrix} \) + (-2 - μ) \( \begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix} \) + μ \( \begin{pmatrix} 5\\3\\1 \end{pmatrix} \)

g : \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\7\\0 \end{pmatrix} \) + μ  \( \begin{pmatrix} 4\\5\\0 \end{pmatrix} \)


Ist die schnittgerade korrekt?

von

Hi, Haste schon die 6.Aktivübung gemacht?

Hi, ne habe mir die noch garnicht angeschaut bin derzeit mit Physik beschäftigt. Wenn ich damit fertig bin können wir uns gerne austauschen

Alles klar, bin auch grad dabei

Wie siehst aus bist du fertig geworden?

Nein leider nicht ganz mir fehlen noch 2aufgaben, wie schaut’s bei dir aus?

Bin soweit fertig überarbeite das ganze noch, wenn du einen Tipp brauchst melde dich einfach

Wollen wir die Nummern austauschen?

Können wir machen

01638111801 schreib mir mal

3 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Aus der Gleichung für Ebene \(1\) entnimmst du die drei Koordinatengleichungen:$$x=2+\lambda+5\mu$$$$y=3-2\lambda+3\mu$$$$z=2+\lambda+\mu$$Diese Werte kannst du direkt in die Koordinatengleichung für Ebene \(2\) einsetzen:

$$0=-5x+4y-13z-28$$$$\phantom{0}=-5(2+\lambda+5\mu)+4(3-2\lambda+3\mu)-13(2+\lambda+\mu)-28$$$$\phantom{0}=-26 λ - 26 μ - 52=-26(\lambda+\mu+2)$$$$\Rightarrow\quad\lambda+\mu+2=0\quad\Rightarrow\quad\mu=-\lambda-2=-(\lambda+2)$$Das setzen wir in die Gleichung für Ebene \(1\) ein, um die Schnittgerade zu erhalten:

$$g:\;\vec x=\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}-(\lambda+2)\begin{pmatrix}5\\3\\1\end{pmatrix}$$$$g:\;\vec x=\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}10\\6\\2\end{pmatrix}+\lambda\left[\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\3\\1\end{pmatrix}\right]$$$$g:\;\vec x=\begin{pmatrix}-8\\-3\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-4\\-5\\0\end{pmatrix}$$Das kann man noch so umschreiben, dass es deinem Ergebnis näher kommt:$$g:\;\vec x=\begin{pmatrix}0\\7\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}4\\5\\0\end{pmatrix}$$Ich habe dasselbe raus wie du, obwohl ich \(\mu\) ersetzt habe und du \(\lambda\).

von 33 k

Danke für deinen Beitrag

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Wie kann man

x = 2 + λ + 5μ
y = 3 - 2λ + 3μλ
z = 2 + λ + μ
nach λ auflösen?

Setze E1 in E2: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} -5\\4\\-13 \end{pmatrix} \) =28 ein. Berechne daraus λ in Abhängigkeit von μ, Setze λ in E1 ein.

von 78 k 🚀

Das habe ich auch gemacht habe mich da nur etwas zu kurz gefasst

Nicht auf die Schreibweise achten, ist ein Schmierzettel DDBAA9A0-A78F-45B8-9474-D9CFE9ED6839.jpeg

Das habe ich auch gemacht habe mich da nur etwas zu kurz gefasst.

Deine sogenannte Kurzfassung ergibt keinen Sinn. Aber wenn du es so gemacht hast, wie ich vorschlug, ist alles gut. Deinen Schmierzettel sehe ich mir nicht an.

Ok, trotzdem danke

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Im Normalfall benutzt man die Parameter r und s

E1 x=(2/3/2)+r*(1/-2/1)+s*(5/3/1)

eingesetzt in E2 und nach s=... umgestellt

s=-2-1*r

eingesetzt in E1

g: x=(-8/-3/0)+r*(-4/-5/0)

m(-4/-5/0) *(-1)=(4/5/0)  ist eine Richtungsänderung (entgegengesetzte Richtung)

g: x=(-8/-3/0)+r*(4/5/0)  Änderung des Stützpunktes mit r=2

x=(0/7/0)+r*(4/5/0)

Das ist deine Gerade

Unterschied

1) anderer Stützpunkt (Stützvektor) a(ax/ay/az)

2) Richtungsvektor in entgegengesetzter Richtung

für die Gerade nutzt man die Buchstaben

g: x=a+r*m  → x=(ax/ay/az)+r*(mx/my/mz)

vor von 3,1 k

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