Messreihe → Differentialrechnung → das beste Ausgleichspolynom 3. Grades für y = y(x) , das den Punkt (0, 1) enthält.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die folgende Messreihe:

x	-2	-1	0	2	3
y	-5	-1	1,5	2	8

Berechnen Sie mit Hilfe der Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Veränderlicher durch Minimierung der Summe der quadratischen Abweichungen das beste Ausgleichspolynom dritten Grades für die Betrachtung y = y(x) , das den Punkt (0, 1) enthält.

Ansatz:

Wäre für einen kompletten Lösungsweg dankbar.

Verstehe nicht wie ich das betrachten soll, eine Herleitung der Funktion wäre auch schonmal ein guter Anfang und eventuell wie ich das dann später mit den gegebenen Punkt mache.

Answer 1

Aloha :)

Ein Polynom 3-ten Grades hat die Form: $y(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. Da das Ausgleichspolynom den Punkt $(0|1)$ sicher enthalten soll, legen wir, wegen $y(0)=d$, die Konstante $d=1$ fest:$$y(x)=ax^3+bx^2+cx+1$$Du kannst nun 2 Vektoren bestimmen. Der eine Vektor enthält die gemessenen $y$-Werte, nennen wir sie mal $y_m$, der andere Vektor enthält die gemäß des Ausgleichspolynoms $y(x_m)$ berechneten Werten für die Messorte $x_m$. Das sieht dann etwa so aus:

$$\vec y_m=\begin{pmatrix}-5\\-1\\1,5\\2\\8\end{pmatrix}\quad;\quad \vec y=\begin{pmatrix}y(-2)\\y(-1)\\y(0)\\y(2)\\y(3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8a+4b-2c+1\\-a+b-c+1\\1\\8a+4b+2c+1\\27a+9b+3c+1\end{pmatrix}$$Die Idee ist nun, die Parameter $a,b,c$ so zu bestimmen, dass der Vektor $\vec y$ dem Vektor $\vec y_m$ "möglichst nahe" kommt. Das heißt, der Betrag der Differenz der beiden Vektoren soll minimal sein. Wir definieren dafür eine Funktion $f(a,b,c)$, die es zu minimieren gilt:$$f(a,b,c)=\left\|\vec y-\vec y_m\right\|=\left\|\begin{pmatrix}-8a+4b-2c+6\\-a+b-c+2\\-0,5\\8a+4b+2c-1\\27a+9b+3c-7\end{pmatrix}\right\|\stackrel{!}{\to}\text{Minimum}$$Anstatt den Betrag des Vektors zu minimieren, können wir mit demselben Ergebnis auch das Quadrat minimieren. Das spart uns beim Berechnen die Wurzel. Sei daher $F(a,b,c)=f^2(a,b,c)$:

$$F(a,b,c)=(-8a+4b-2c+6)^2+(-a+b-c+2)^2+(-0,5)^2+$$$$\phantom{F(a,b,c)}=(8a+4b+2c-1)^2+(27a+9b+3c-7)^2$$$$\phantom{F(a,b,c)}=858 a^2 + 484 a b + 228 a c - 494 a + 114 b^2 + 52 b c - 82 b + 18 c^2 - 74 c + 90,25$$Die partiellen Ableitungen müssen verschwinden:$$0=\frac{\partial F}{\partial a}=2 (858 a + 242 b + 114 c - 247)$$$$0=\frac{\partial F}{\partial b}=2 (242 a + 114 b + 26 c - 41)$$$$0=\frac{\partial F}{\partial c}=2 (114 a + 26 b + 18 c - 37)$$Wir haben also ein lineares Gleichungssysem gefunden:

$$\left(\begin{array}{r}a & b & c & =\\\hline 858 & 242 & 114 & 247 \\ 242 & 114 & 26 & 41 \\ 114 & 26 & 18 & 37\end{array}\right)\quad\Rightarrow\quad\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}0,437198\\-0,605072\\0,160628\end{pmatrix}$$

Damit sind wir am Ziel:$$y(x)=0,437198x^3-0,605072x^2+0,160628x+1$$

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f₁(x) = 0,437198x³-0,605072x²+0,160628x+1P(0|1)P(-2|-5)P(-1|-1)P(0|1,5)P(2|2)P(3|8)Zoom: x(-3…4) y(-6…9)