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Die Aufgabe ist es zu zeigen, dass die Folge von Funktionen f_n [0,inf) -> [0,inf), x -> (x/n2)*exp(-x/n) gleichmäfig gegen Null konvergiert.

Hinweis: Finden Sie eine geeignete Nullfolge b_n mit |f_n| <= b_n für alle x [0,inf)


Die Frage: Wie finde ich eine solche Nullfolge und was tu ich dann mit der? Ich finde einfach keinen Ansatz..

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Aloha :)

Laut Aufgabenstellung können wir x[0;)x\in[0;\infty), also x0x\ge0 voraussetzen.fn(x)=xn2ex/n=1nx/nex/nf_n(x)=\frac{x}{n^2}e^{-x/n}=\frac{1}{n}\frac{x/n}{e^{x/n}}Wir schätzen ab:ex/n1+x/n1ex/n11+x/nfn(x)1nx/n1+x/n<1ne^{x/n}\ge1+x/n\quad\Rightarrow\quad\frac{1}{e^{x/n}}\le\frac{1}{1+x/n}\quad\Rightarrow\quad f_n(x)\le\frac{1}{n}\frac{x/n}{1+x/n}<\frac{1}{n}Sei nun ε>0\varepsilon>0 beliebig, aber fest gewählt. Dann ist:

fn(x)0=fn(x)<1n=1n<εfu¨r alle nN0 : =1ε\left|f_n(x)-0\right|=\left|f_n(x)\right|<\left|\frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n}<\varepsilon\quad\text{für alle } n\ge N_0:=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceilDa die Definition der gleichmäßigen Konvergenz gegen 00 für fast alle nNn\in\mathbb{N} erfüllt ist, konvergiert die Funktionenfolge fn(x)f_n(x) gleichmäßig gegen 00.

Avatar von 153 k 🚀

Danke. Ich hätte da aber eine Frage zur ersten Zeile: Warum wird aus e^-x/n ein ex/n?

Okay hat sich erledigt.

Oha, da hätte ich vielleicht noch einen Zwischenschritt einfügen sollen, damit es besser verständlich ist:fn(x)=xn2ex/n=1nxn1ex/n=1nx/nex/nf_n(x)=\frac{x}{n^2}e^{-x/n}=\frac{1}{n}\cdot\frac{x}{n}\cdot\frac{1}{e^{x/n}}=\frac{1}{n}\,\frac{x/n}{e^{x/n}}

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