Sei I := {x ∈ R : −1 < x < 1}. Zeigen, dass (I,∘) eine kommutative Gruppe bildet.

Question

Sei I := {x ∈ R : −1 < x < 1}.
Für alle x, y ∈ I sei $$x∘y:=\frac{x+y}{1+xy}$$

1) Zeigen Sie, x∘y∈I für alle x,y∈I.
2) Zeigen Sie, dass (I,∘) eine kommutative Gruppe bildet.

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann. Ich bekomme ein einfach nicht hin..

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Sei I := {x ∈ R : −1 < x < 1}. Zeigen Sie, dass (I,∘) eine kommutative Gruppe bildet.

Stichworte: lineare-algebra

Sei I := {x ∈ R : −1 < x < 1}.

Für alle x,y ∈ I sei x ⊙ y := x+y/1+xy

1) Zeige x ⊙ y ∈ I für alle x, y ∈ I.
2) Zeige, dass (I,⊙) eine kommutative Gruppe bildet

Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Answer 1

Zeige, dass durch f mit   f(x)  =  (1-x) / (1+x)   ein Isomorphismus von  (ℝ⁺ , ·)  auf  (I, o)  definiert wird.

Comments

Da würde mir jetzt nur so viel einfallen:

f:(ℝ+ , ·)  --> (I, o)

f(x)=(1-x)/(1+x)

Beweis: f(a*b)=f(a) o f(b) wegen f(a*b)=(1-(a*b))/(1+(a*b)),

wegen f(a) o f(b)= (1-a)/(1+a) o (1-b)/(1+b)

Ich versteh nicht wieso (1-x)/(1+x)?

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Richtig soweit, was oben steht musst du mit der Definition von o noch nachweisen und dann erwähnen, dass (ℝ⁺ , ·) bekanntermaßen eine Gruppe ist, deren Eigenschaften sich via f auf (I,o) übertragen.

Ich versteh nicht wieso (1-x)/(1+x)
Ich kann leider kein Patentrezept angeben, wie man darauf kommt.

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Also das gleiche nochmal mit (x+y)/(1+xy)?

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Rechne   (1-a)/(1+a) o (1-b)/(1+b)   mit der Definition von o aus und zeige, dass es gleich  (1-(a*b))/(1+(a*b))   ist.

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Setze ich jetzt einfach (1-a)/(1+a) für x und (1-b)/(1+b) für y ein?

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Setze ich jetzt einfach (1-a)/(1+a) für x und (1-b)/(1+b) für y ein?

Ja

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Dann sieht das schonmal so aus:

$$\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}/1+\frac{1-a}{1+a}*\frac{1-b}{1+b}$$

und das muss nun  (1-(a*b))/(1+(a*b)) entsprechen.

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Klammern nicht vergessen, sonst :  genau.

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Mein Zwischenstand ist

$$\frac{2-2ab}{ab-a-b+2}$$

Im Zähler käme ich durch 2 auf das was ich rausbekommen soll, aber im Nenner klappt es irgendwie nicht.

Das -a und -b stört mich noch.

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\( \frac{\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}}{1+\frac{1-a}{1+a}*\frac{1-b}{1+b}} \) =\( \frac{(1-a)(1+b)+(1+a)(1-b)}{(1+a)(1+b)+(1-a)(1-b)} \) =\( \frac{1-a+b-ab+1+a-b-ab}{1+a+b+ab+1-a-b+ab} \) =\( \frac{2-2ab}{2+2ab} \)

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Danke, ich habe meinen Fehler gefunden.

Answer 2

Der Term (x+y)/(1+xy) -ich schätze mal, du hast Klammern vergessen- liegt zwischen -1 und 1  genau dann, wenn das Quadrat dieses Terms kleiner als 1 ist. Quadriere doch mal den Zähler und den Nenner...

Die Kommutativität ist logisch, denn das Vertauschen von x und y liefert den selben Zähler und den selben Nenner.

Es bleibt der Nachweis der allgemeinen Gruppeneigenschaften laut Definition.