0 Daumen
473 Aufrufe

◦ ist definiert durch:
a◦b:=  a+b−n, falls a+b>n
          a + b,   falls a + b ≤ n;

◦ ist erklärt auf die n-elementige Teilmenge m := {1, 2, . . . , n} ⊂ N

zu zeigen ist nun:

Die Menge m bildet zusammen mit der Verknüpfung ◦ eine kommutative Gruppe.

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Zeige mal erst die Abgeschlossenheit:

Das Ergebnis von a◦b muss also immer wieder in

m liegen. Für a+b<n ist das offenbar der Fall

und da a+b nie größer als 2n werden kann, ist im

anderen Fall a+b-n auch wieder im Bereich 1 bis n.

Das passt also.

assoziativ ?

Prüfe, ob in allen Fällen (a◦b)◦c = a◦(b◦c) gilt.

Da musst du die verschiedenen Fälle durchgehen,

etwa    a+b+c < n , da ist es ja klar; denn da ist

(a◦b)◦c = (a+b) ◦c   und da auch (a+b)+c dann < n ist

=(a+b)+c  = a+(b+c)  [wegen assoziativität in (ℕ,+) ]

=  a +  (b◦c)   hier wieder die Summe <n also

= a◦(b◦c)

Die anderen Fälle entsprechend.

neutrales Element gibt es auch. Das ist das n;

denn für jedes a ∈ m ist a+n > n also

a◦n = a+n-n = a .

Und zu jedem a ∈ m gibt es ein inverses El.

Das ist für n das n selber  und für

die anderen Elemente ist n-a invers zu a.

Und kommutativ zeigst du leicht, weil

a+b>n genau dann gilt, wenn auch b+a>n ist.

Avatar von 287 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community