Kommutative Gruppe zeigen

Question

Aufgabe:

Seien \( (G, \oplus) \) und \( (G, \odot) \) kommutative Gruppen. Zeigen Sie, dass dann auch \( (G \times G, \circ) \) eine kommutative Gruppe ist, wobei \( (a, x) \circ(b, y)=(a \oplus b, x \odot y) \).

Text erkannt:

Seien \( (G, \oplus) \) und \( (G, \odot) \) kommutative Gruppen. Zeigen Sie, dass dann auch \( (G \times G, \circ) \) eine kommutative Gruppe ist, wobei \( (a, x) \circ(b, y)=(a \oplus b, x \odot y) \).

Problem/Ansatz:

Hallo,

könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen? Ich weiß leider nicht, wie ich das machen soll. Kann mir einer helfen? Diese Aufgabe dient auch zur Klausurvorbereitung.

Ich danke schonmal im Voraus

Answer 1

Zeige erst mal: Abgeschlossenheit, also

für (a,x), (b,y)  ∈ GxG gilt  (a,x) ° (b,y) ∈ GxG.

Dem ist so, weil (a,x) ° (b,y) \( =(a \oplus b, x \odot y) \)

Und \( a \oplus b \)∈ G weil \( (G, \oplus) \) abgeschlossen

und \( x \odot y) \) ∈ G weil \( (G, \odot) \) abgeschlossen.

In ähnlicher Weise kannst du alle Eigenschaften

von  \( (G \times G, \circ) \) auf die der beiden

gegebenen Gruppen zurückführen.