Beschreibt die Differantialgleichung ein logistisches Wachstum?

Question

ich habe so meine Probleme mit Differentialgleichungen und bin bei einer alten Abituraufgabe gerade etwas ratlos:

Betrachtet werden nun allgemeine Differentialgleichungen für Modelle C und D mit den Parametern r und s.

Modell C:   c'(t) =(r-s)·c(t)           mit c(t) >0

Modell D: d'(t) = (r-s·t)·d(t)         mit d(t) >0 , jeweils t∈ℝ, t≥0, r>0, s>0

Aufgabe:

Begründen sie, dass im Modell D kein logistisches Wachstum einer Bakterienzahl beschreibt.

Ich habe gerade keine Ahnung wie man an diese Aufgabe rangeht, kann mir jemad dabei helfen?

Answer 1

c´(t)=(r-s)*c(t)

c´(t)-(r-s)*c(t)

hat die Form y´+a*y=0  mit y´=dy/dx

dy/dx+a*y=0

dy+a*y*dx=0  trennen der Veränderlichen

dy=-a*y*dx

dy/y=-a*dx  integriert

∫dy/y=∫-a*dx=-a*∫dx

ln(y)=-a*x+C  mit e=2,7..

y=e^(-a*x+C)=e^(-a*x)*e^(C)  mit e^(C)=C=konstant

siehe Mathe-Formelbuch Potenzgesetz a^(r)*a^(s)=a^(r+s)

y=f(x)=C*e^(-a*x)

C=Anfangswert bei x=0  f(0)=C*e^(-a*0)=C*e⁰=C*1=C

bei dir a=(r-s)  oder a=(r-s*t)

Plotlux öffnen

f₁(x) = 8·e^(-0,2·x)f₂(x) = 1·e^(0,2·x)Zoom: x(-5…10) y(-2…10)

Comments

Ich verstehe noch nicht so ganz wie beweist das, dass Modell D kein logistisches Wachstum beschreibt?

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f(x)=C*e^(-b*x)   exponentielle Abnahme

f(x)=C*e^(b*x) exponentielle Zunahme

Mehr weiß ich auch nich.