Analysis Ableitung etc Hilfe

Question

Wie löse ich diese Aufgaben?

Ich hab für a) den Ansatz:  87187= a*8,6^¥*1

\( \leftarrow \quad C \)
Wie Sie zum Beispiel auf https://covid.firrm.de/ sehen, , lässt sich die Verroreitung von CoVID-19 in Brasilien zur Zit noch gut mit einem exponentiellen Wachstums modellieren. Für die Anzahl der Personen, die bis zum Zeitpunkt t in Brasilien erkrankt sind, setzen wir die Formel \( f(t)=a \cdot e^{\lambda t} \) an für Konstanten \( a, \lambda \in \mathbb{R} . \) Dabei messen wir \( t \) in Tagen nach dem \( 30 . \) April 2020
a.) Nach den Daten der Johns Hopkins Universitäts gab es in Brasilien bis zum 30. April bereits 87187 Erkrankungen. Die Verdopplungszzit betrug etwa 8.6 Tage, d.h. \( f(t) \) verdoppelt sich ungefähr alle 8.6 Tage. Berechnen Sie damit die Konstanten \( a \) und \( \lambda \) und damit eine Prognose für die Anzahl der Fâlle am 1. Mai.
b.) Berechnen Sie die Gleichung der Tangenten an den Graphen von \( f \) im Punkt \( (0, f(0)) \) ) dies ist die beste lineare Approximation von \( f \) in der Nắhe von \( t=0 \) ) und berechnen Sie damit einen Näherungswert für \( f(1) \)
c.) Vergleichen Sie die Genauigkeit der beiden Ergebnisse mit Hilfe eines Taschenrechners.

Answer 1

f(t)=a⋅e^λt  für Konstanten a,λ∈R. Dabei messen wir t in Tagen nach dem 30. April 2020
a.) Nach den Daten der Johns Hopkins Universitäts gab es in Brasilien bis zum 30. April bereits 87187 Erkrankungen. Die Verdopplungszzit betrug etwa 8.6 Tage, d.h. f(t) verdoppelt sich ungefähr alle 8.6 Tage. Berechnen Sie damit die Konstanten a und λ und damit eine Prognose für die Anzahl der Fälle am 1. Mai.

Ansatz zur Bestimmung von λ aus der Verdopplungszeit t=8,6: 2=e^8,6λ. Dann ist λ≈0,08. a=87187 ist gegeben. Dann gilt f(t)=87187·e^0.08t.  Am 1.Mai ist t=1. f(1)=87187·e^0,08≈94500.

Die Prognose für die Anzahl der Fälle am 1. Mai lautet 94500.

Comments

Könnten Sie mir bei b) auch helfen?

Answer 2

Aloha :)

a) Die Funktionsgleichung kannst du wie folgt formulieren:$$f(t)=87\,187\cdot2^{t/8,6}=87\,187\,e^{\frac{t}{8,6}\cdot\ln(2)}=87\,187\,e^{\lambda t}\quad;\quad \lambda=\frac{\ln(2)}{8,6}\approx0,0806$$Für den 1. Mai, also \(t=1\) Tag später, können wir daher \(94\,505\) Erkrankungen prognostizieren.

b) Die Tangente an dem Punkt \((0|f(0))\) bestimmen wir mit der Ableitung \(f'(0)\):$$f'(t)=87\,187\cdot\lambda\,e^{\lambda x}\quad\Rightarrow\quad f'(0)=87\,187\cdot\frac{\ln(2)}{8,6}\approx7027$$$$\Rightarrow\quad g(t)=f(0)+f'(t)\cdot t=87\,187+7027\,t$$Gemäß dieser Näherung werden für den 1. Mai \(g(1)=94\,214\) Erkrankungen prognostiziert.

c) Der linearisierte Wert beträgt \(\frac{94\,214}{94\,505}\approx99,69\%\) vom exponentiell vorhergesagten Wert. Die relative Abweichung ist mit \(0,31\%\) also gering.