Analysis Diffbarkeit von Umkehrfkt

Question

Ich brauche Hilfe bei diesen Aufgaben:

Es sei $g$ eine differenzierbare Funktion. Besitzt $g$ auf einem Intervall $(a, b)$ eine stetige Umkehrfunktion $f$ (ein Kriterium dafür werden Sie später lernen), so können Sie diese nicht immer explizit ausrechnen, jedoch mit der Umkehrregel für alle $x \in(a, b)$ bestimmen, ob und mit welchem Wert $f$ bei $g(x)$ differenzierbar ist

a.) $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=3 x^{5}-10 x^{3}+15 x-1$ besitzt eine stetige Umkehrfunktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
Bestimmen Sie wo $f$ differenzierbar ist und berechnen Sie $f^{\prime}(-1)$
b.) $g: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty), g(x)=\left(x^{2}-4 x+5\right) \cdot e^{x}$ besitzt eine stetige Umkehrfunktion $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$
Bestimmen Sie wo $f$ differenzierbar ist und berechnen Sie $f^{\prime}(5)$
$c .) g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\frac{1}{2} x^{2}+2 x .$ Skizzieren Sie den Funktionsgraphen um ein $x_{0} \in \mathbb{R}$ zu bestimmen, so dass $g$ auf den beiden Intervallen $\left(-\infty, x_{0}\right)$ und $\left(x_{0}, \infty\right)$ jeweils umkehrbar ist. Berechnen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion auf $\left(x_{0}, \infty\right)$ explizit mit Hilfe der Mitternachtsformel oder der p-q-Formel.

Answer 1

Aloha :)

Ich mache Teil (a) sehr ausführlich, die Teile (b) und (c) dann kürzer.

Teil (a): Gegeben ist die Funktion:$$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,,\,g(x)=3x^5-10x^3+15x-1$$Gesucht ist die Ableitung der Umkehrfunktion $f(x)$ an der Stelle $x=-1$. Das Berechnen der Umkehrfunktion ist hier nicht explizit nötig. Da $f$ und $g$ Umkehrfunktionen zueinander sind, macht die eine Funktion die Wirkung der anderen rückgängig. Für alle $x$ aus dem Definitionsbereich der Umkehrfunktion gilt daher:$$g(\,f(x)\,)=x$$Wir leiten beide Seiten der Gleichung ab, wobei links die Kettenregel zum Einsatz kommt:$$g'(\,f(x)\,)\cdot f'(x)=1$$$$\underline{f'(x)=\frac{1}{g'(\,f(x)\,)}}$$Das ist die entscheidende Formel, die uns durch alle Aufgabenteile führt. Leiten wir die Funktion $g(x)$ ab und setzen statt $x$ dann $f(x)$ ein, erhalten wir:$$f'(x)=\frac{1}{15f^4(x)-30f^2(x)+15}=\frac{1}{15\left[f^2(x)-1\right]^2}$$Die Umkehrfunktion $f$ ist offenbar genau dann differenzierbar, wenn $f(x)\ne\pm1$ ist.

Wegen $g(0)=-1$ ist $f(-1)=0$, sodass die Ableitung exisitert:$$f'(-1)=\frac{1}{15(0^2-1)^2}=\boxed{\frac{1}{15}}$$

Teil (b): Gegeben ist die Funktion:$$g:\mathbb{R}\to(0|\infty)\,,\,g(x)=(x^2-4x+5)e^x$$$$g'(x)=(2x-4)e^x+(x^2-4x+5)e^x=(x^2-2x+1)e^x=(x-1)^2e^x$$$$f'(x)=\frac{1}{g'(f(x))}=\frac{1}{[f(x)-1]^2e^{f(x)}}$$Die Ableitung $f'(x)$ existiert, sofern $f(x)\ne1$ ist.

Wegen $g(0)=5$ ist $f(5)=0$, sodass die Ableitung existiert:$$f'(5)=\frac{1}{[0-1]^2e^{0}}=\boxed{1}$$

Teil (c): Gegeben ist die Funktion:$$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,,\,g(x)=\frac{1}{2}x^2+2x$$Hier ist ein etwas anderes Vorgehen gefordert. Dazu schreiben wir die Funktion zunächst um:$$g(x)=\frac{1}{2}x^2+2x=\frac{1}{2}x^2+2x+\underbrace{2-2}_{=0}=\frac{1}{2}\left(x^2+4x+4\right)-2$$$$g(x)=\frac{1}{2}(x+2)^2-2$$Wie die Abbildung zeigt, ist dies eine Parabel mit Tiefpunkt bei $(-2|-2)$. Die Funktion ist daher jeweils in dem im Intervall $(\infty|-2]$ und in dem Intervall $[-2|\infty)$ umkehrbar. Das heißt: $x_0=-2$.

Wir berechnen nun explizit die Umkehrfunktion, indem wir in der Funktionsgleichung $x$ und $y=g(x)$ vertauschen und anschließend die Gleichung nach $y$ umstellen:

$$\left.y=\frac{1}{2}(x+2)^2-2\quad\right|\;x \text{ und } y \text{ vertauschen}$$$$\left.x=\frac{1}{2}(y+2)^2-2\quad\right|\;+2$$$$\left.x+2=\frac{1}{2}(y+2)^2\quad\right|\;\cdot2$$$$\left.2(x+2)=(y+2)^2\quad\right|\;\sqrt{\dots}$$$$\left.\pm\sqrt{2(x+2)}=y+2\quad\right|\;-2$$$$\left.y=-2\pm\sqrt{2(x+2)}\quad\right.$$Wir sollen das Intervall $[x_0|\infty[$ betrachten, das ist der Zweig mit der positiven Wurzel:$$f(x)=-2+\sqrt{2(x+2)}$$Die Ableitung lautet:$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{2(x+2)}}\cdot2=\frac{1}{\sqrt{2(x+2)}}$$

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f₁(x) = 1/2·(x+2)²-2f₂(x) = -2+√(2(x+2))f₃(x) = -2-√(2(x+2))Zoom: x(-6…6) y(-5…5)

Answer 2

Hallo

 du weisst f(g(x))=x, das kannst du nach der Kettenregel ableiten und so f'=df/dg bestimmen (in Abhängigkeit von g') dann darf der Nenner nicht 0 werden!

 Gruß lul