Ist B eine Basis des Vektorraumes T_1? Was ist die Dimension von T_1?

Question

Gegeben sind:

$$T_1 = \left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3\ \Bigg| \ x_2 = x_3-x_1 \right\} \subseteq \mathbb{R}^3$$ und:

$$B = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$$

Ich würde sagen, dass $$B$$ ein Erzeugendensystem von  $$T_1$$ ist und, dass $$B$$ linear unabhängig ist. Doch bei der Frage, ob $$B$$ auch eine Basis von $$T_1$$ ist, schwanke ich, da ich nicht genau weiss, wie ich die $$dim(T_1)$$ berechne. Kann mir das jemand zeigen?

Wenn $$dim(T_1)=2$$, dann wäre es eine Basis, ansonsten nicht. Ist das richtig?

Danke für eure Zeit!

Comments

Ich würde sagen, dass
B
ein Erzeugendensystem von
T1
ist und, dass
B
linear unabhängig ist.

Deine Vermutung ist richtig.

Doch bei der Frage, ob
B
auch eine Basis von
T1
ist, schwanke ich

Was ist denn ein Basis? Wenn dir obiges klar ist solltest du hier nicht mehr schwanken.

Tipp: Inline LaTeX erreichst du mit \.( und \.) (Punkte entferne)

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Da es B ein Erzeugendensystem ist und linear unabhaengig, haben wir ein linear unabhaengiges Erzeugendensystem, was ergo die Definition einer Basis ist.

Ich schwanke, weil ich davon ausgehe, dass B auch 3 Vektoren enthalten muss, damit es eine Basis ist von T_1 ist?

Deswegen meine Frage nach der Dimension von T_1. Wenn die Dimension 2 ist, dann brauch B nur 2 Vektoren enthalten. Ich weiss nicht, wie ich die Dimension von T_1 bestimme.

Das mit dem inline kriege ich irgendiwe nicht hin mit \B\ :D ?

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Du musst auch die Klammern setzen

\(

\)

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Deswegen meine Frage nach der Dimension von T_1. Wenn die Dimension 2 ist, dann brauch B nur 2 Vektoren enthalten. Ich weiss nicht, wie ich die Dimension von T_1 bestimme.

Ja, aber ich meine wenn du weißt, dass B ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von $T_1$ ist, dann weißt du auch, dass B eine Basis ist und somit $\dim T_1 = 2$ da B 2 Vektoren enthält.

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Sorry noch mal wegen dem inline \( )\ .. wo kommen die DOLLAR hin? Wenn ich nur Backspace parenthesisleft SIGN parenthesisright backspace verwende, geht es nicht?!?

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parenthesisright backspace

Tauschen! :D Dollar brauchst du für inline keine

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Finally!

Answer 1

Aloha :)

$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_3-x_1\\x_3\end{pmatrix}=x_1\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$

Ein Erzeugendensystem sind die beiden Vektoren offensichtlich. Um zu zeigen, dass sie auch eine Basis sind, musst du ihre lineare Unabhängigkeit zeigen. Das heißt, die Gleichung

$$x_1\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$darf nur die triviale Lösung $x_1=0$ und $x_3=0$ haben. Wegen der ersten komponente muss $x_1=0$ gelten. Wegen der zweiten und der dritten Komponente, muss dann auch $x_3=0$ gelten. Also bilden die beiden Vektoren eine Basis der 2-dimensionalen Raums $T_1$.

Comments

Genau so habe ich das auch. Aber mir ist immer noch unklar, wie du bestimmt hast, dass T_1 2-dimensional ist? Kann ich aufgrund des Erzeugendensystems mit 2 Skalaren sagen, dass T_2 2-dimensional ist?

Ich habe gelesen: dim(T_1) = n - |A|, weiss aber nicht genau, wie ich die Koeffizientmatrix |A| aufstelle, was wohl der genaue Beweiss fuer die Dimension ist?

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Die Basis besteht aus 2 Vektoren $\quad\Rightarrow\quad$ 2 Freiheitsgrade bzw. Dimensionen

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Ok. Verstehe. Sorry, dass ich da jetzt so hartnaeckig bin: Und wenn ich nur $T_1$ gegeben habe und bestimmen muss, welche Dimension $T_1$ hat? Wie gehe ich dann vor?

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Genau wie du es in der Aufgabe machen solltest. Eine Basis bestimmen und die Anzahl der Vektoren in der Basis zählen.

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Die Basis war mir gegeben, deswegen habe ich mir da keine Gedanken drueber gemacht, wie ich eine Basis finde. Koennte ich auch sagen: Da $x_2 = x_3 - x_1$, existiert in dem Vektorraum eine lineare Abhaenigigkeit fuer $x_2 \Rightarrow dim(T_1) = 2$ ? 

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Ja, das hast du sehr gut erkannt. Eine Dimension ist immer ein Freiheitsgrad, also die Möglichkeit, eine Variable frei zu wählen. Durch die Forderung $x_2=x_3-x_1$ ist dir ein Freiheitsgrad abhanden gekommen, weil $x_2$ durch die freie Wahl von $x_1$ und $x_3$ fest vorgegeben ist. 2 Freiheitsgrade bedeutet 2 Dimensionen.

Das ist aber schon eine sehr physikalsiche Argumentation. Es kann sein, dass dein Lehrer lieber unabhängige Basisvetkoren zählt ;) Mathematiker sind da manchmal sehr engstirnig.

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Vielen Dank fuer die Hilfe!