analysis Funktion Intervall

Question

Wie löse ich die Aufgabe b)?

7 Die Funktion V mit V(t) = - $t^{3}+22 t^{2}(0 \leq t \leq 14)$ beschreibt näherungsweise die Produltion von Sauerstoff bei der Fotosynthese eines Baumes an einem bestimmen Tag von 6 bis 20 Unre (t ist die seit 6 Uhr morgens vergangene Zeit in h und V (t) gibt an, wie viel liter saurstoff der Baum bis zum Zeitpunkt t insgesamt produziert hat).

b) Begründen Sie, warum der Graph von V im betrachteten Intervall keine Extrempunke besitzt

Answer 1

Schon mal an erste Ableitung gedacht?

Answer 2

Aloha :)

Die Behauptung, dass die Funktion im Intervall $0\le t\le 14$ keine Extrempunkt besitzt, ist falsch. An den Rändern $t=0$ und $t=14$ liegen Extrempunkte. Diese kann man mit den Mitteln der Differentialrechnung nur nicht bestimmen, weil die Funktion nur im Intervall $]0|14[$ differenzierbar ist.

Bei einem Extrempunkt im Intervall $0<t<14$ müsste darin die Ableitung von $f(t)=-t^3+22t^2$ gleich $0$ werden:$$0\stackrel{?}{=}f'(t)=-3t^2+44t=-3t\left(t-\frac{44}{3}\right)\quad\Rightarrow\quad t=\frac{44}{3}=14,\overline6\;\not\in\;]0|14[$$Innterhalb des offenen Intervalls $]0|14[$ hat die Funktion keine Extrempunkte.

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f₁(x) = -x³+22x²Zoom: x(-0,5…15) y(-10…1600)

Answer 3

Wenn es um die Sauerstoffproduktion geht, kann es ja nur monoton steigend sein,

denn die Menge des bis zum Zeitpunkt t produzierten Sauerstoffs kann nur zunehmen

oder allenfalls konstant bleiben.

Deshalb gibt es bei Beobachtungsbeginn das absolute Minimum

und am Ende das absolute Maximum.