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Aufgabe:

Die partiellen Ableitungen erster Ordnung einer Funktion (, ) sind gegeben
durch x(, ) = (4-x2)(y+3) und y(, ) = 4x -\( \frac{x^{3}}{3} \) -8y
(a) Wie lautet die Funktion (, ) ?
(b) Untersuchen Sie die zu bestimmende Funktion (, ) auf Extremstellen und
Sattelpunkte!


Ansatz:
Wäre für einen kompletten Lösungsweg dankbar.

Bei a) komme ich gar nicht voran.
Verstehe nicht wie ich das integrieren soll, eine Herleitung des Integrals wäre auch schonmal ein guter Anfang und eventuell eine Lösungsweg bzw. Lösung zu den Sattelpunkte und Extremstellen .

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Aloha :)

Wir integrieren die partielle Ableitung nach \(x\) und erhalten eine Integrations"konstante" \(g(y)\), die von \(y\) abhängen darf:$$\partial_xf(x,y)=(4-x^2)(y+3)=4y+x^2y+12-3x^2$$$$f(x,y)=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)(y+3)+g(y)$$Diese Funktion leiten wir partiell nach \(y\) ab, um g'(y) zu erhalten:$$\partial_y f(x,y)=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)+g'(y)\stackrel{!}{=}\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)-8y$$$$\Rightarrow\quad g'(y)=-8y\quad\Rightarrow\quad g(y)=-4y^2+c\quad;\quad c=\text{const}$$Die Funktion lauetet daher:$$f(x,y)=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)(y+3)-4y^2+c\quad;\quad c=\text{const}$$

Bei einem Extrempunkt muss die partielle Ableitungen nach \(x\) verschwinden:$$0\stackrel{!}{=}\partial_x f(x,y)=(4-x^2)(y+3)\quad\Rightarrow\quad x=\pm2\quad\lor\quad y=-3$$Für \(y=-3\) ist \(f(x,-3)=-36+c\) für alle \(x\). Daher kann dort weder ein Sattelpunkt noch ein Extremum vorliegen. Bei einem Extrempunkt muss aber auch die partielle Ableitung nach \(y\) verschwinden:$$0\stackrel{!}{=}4x-\frac{x^3}{3}-8y=\left\{\begin{array}{l}\frac{16}{3}-8y &;&x=2\\-\frac{16}{3}-8y &;&x=-2\end{array}\right.$$Das liefert uns folgende Kandidaten für Extremwerte bzw. Sattelpunkte:$$\left(2\left|\frac{2}{3}\right.\right)\quad;\quad\left(-2\left|-\frac{2}{3}\right.\right)$$Müsst ihr noch nachweisen, welcher Punkt Extremum und welcher ein Sattelpunkt ist? Oder reicht die Angabe der Kandidaten? Der Nachweis ist nämlich noch mal etwas Rechnerei. Der erste entpuppt sich als Maximum, der zweite als Sattelpunkt.

Avatar von 148 k 🚀

 könnten sie einmal erläutern weshalb bei y =-3 weder sattel noch extrempunkt ist. bzw. wieso das y als lsöung nicht in betracht gezogen wird. verstehe das nicht so recht...
ausserdem wäre es überragend, wenn sie den rest der aufgabe noch einmal machen könnten, auch wenn der fragesteller evtl kein interesse mehr hat. habe da etwas mit einer diskriminante im hinterkopf aber das wars dann auch wieder, leider. vielen dank!

Extremwerte oder Sattelpunkte sind ja "Punkte". Für \(y=-3\) ist$$f(x,y)=f(x,-3)=-36+c=\text{const}$$Das heißt, wir haben eine unendlich lange Gerade (weil wir \(x\) ja beliebig wählen können), bei der die Funktion überall denselben Funktionswert hat. Es kann dort also kein Sattel"punkt" oder Extrem"punkt" vorliegen.

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Wenn man (4-x2)(y+3) nach x integriert, erhält man (4x-x³/3)(y+3) + T(y). T(y) ist irgendein nur von y abhängender Term, der beim Ableiten nach x wegfällt.

Wenn man 4x-x³/3 -8y nach y integriert, erhält man 4xy-x³y/3-4y² + U(x). U(x) ist irgendein nur von x abhängender Term, der beim Ableiten nach y wegfällt.

Setze nun beide Ergebnisse gleich, damit solltest du auch T(y) bzw. U(x) finden.

Avatar von 53 k 🚀

Wie soll ich die Ergebnisse Gleichsetzen?

Was bekommen Sie als Lösung für T(y) und U(x)

Wie soll ich die Ergebnisse Gleichsetzen?

Na, so:

(4x-x³/3)(y+3) + T(y) = 4xy-x³y/3-4y² + U(x)

Links wäre es nicht ganz verkehrt, noch die Klammern auszumultiplizieren:

4xy -x³y/3 +12x -x³+ T(y) = 4xy-x³y/3-4y² + U(x)

Ich habe mal farbig hervorgehoben, was auf beiden Seiten jetzt schon übereinstimmt.

Jetz musst du nur voch T(y) bzw. U(x) so wählen, dass auch der Rest übereinstimmt.

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