Differentialgleichungen insb. Trennung der Variablen

Question

hallo ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe,

mit welchen Wert von a ist

x(t)= at²-5

Die Lösung der Differentialgleichung

tx' (t)-x(t)+6(t-2)² = 29-24t

a=

Ich danke im voraus für die Hilfe

Answer 1

Hallo

du musst doch nur x' bilden und dann x und x' in die Dgl einsetzen, niemand wollte, dass du die allgemeine Lösung der Dgl findest.

Gruß lul

Comments

ich versteh nicht was du meinst

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Setze auf der linken Seite deiner DGL an Stelle von x(t) den Term at²-5 und an Stelle von x'(t)= seine Ableitung 2at ein.

Wähle nun a so, dass auch links tatsächlich 29-24t entsteht.

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2at-5at²-24t+19

ich komme jetzt auf diese Gleichung aber weiß dann nicht mehr was ich machen soll

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tx' (t)-x(t)+6(t-2)² wird zu t(2at)-(at²-5)+6(t-2)² =2at²-at²+5+6t²-24t+24, was sich nur noch zu at²+6t²-24t+29 vereinfachen lässt. Wenn DAS 29-24t werden soll, müsste der vordere Teil at²+6t² gerade Null werden. Mit welchen a passiert das tatsächlich?

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müsste dann  a nicht null sein?

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Die Frage kannst du dir selbst beantworten:

Ist 0·t²+6t² gleich 0?

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ich weiß es grad ehrlich nicht bin jetzt ein bisschen verwirrt

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0·t²+6t² ist immer noch 6t², also nicht Null.

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und was ist jetzt a??

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Derjenige Faktor, mit dem  a·t²+6t² tatsächlich 0 wird.

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leider weiß ich nicht wie es geht deshalb frage ich lg

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Hast du mal daran gedacht, dass es seit Klasse 7 auch negative Zahlen gibt?

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natürlich weiß ich es !!!

ich möchte wissen wie man sowas berechnet ein rechenweg zum Beispiel  damit ich meinen anderen Aufgaben berechnen kann

das wär mega lieb

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Vielleicht hilft dir ja der Hinweis, dass a·t²+6t² dann 0t² ergeben muss (und dass die dafür benötigte Zahl a eine negative Zahl sein muss)...

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Hallo

 du hast dich verrannt!  Eigentlich kannst du sowas seit  etwa Klasse 7,  x*b+6b=0  nach x auflösen ? at^2+6t^2=0 nach a auflösen: at^2=-6t^2entweder für t≠0 durch t^2 teilen oder a einfach sehen!

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)$$x(t)=at^2-5\quad;\quad x'(t)=2at$$Beide Gleichungen können wir in die Differentialgleichung einsetzen:

$$\left.tx'(t)-x(t)+6(t-2)^2=29-24t\quad\right|\;\text{Gleichungen einsetzen}$$$$\left.t\cdot2at-(at^2-5)+6(t-2)^2=29-24t\quad\right|\;\text{ausrechnen}$$$$\left.2at^2-at^2+5+6(t^2-4t+4)=29-24t\quad\right|\;\text{links zusammenfassen}$$$$\left.at^2+6t^2-24t+29=29-24t\quad\right|\;+24t-29$$$$\left.at^2+6t^2=0\quad\right|\;t^2\text{ ausklammern}$$$$\left.t^2(a+6)=0\quad\right|\;\text{Satz vom Nullprodukt}$$$$a=-6$$Für \(a=-6\) ist \(x(t)=at^2-5\) eine Lösung der Differentialgleichung.