Zahlenfolgen; Grenzwert / Konvergenz. an: = (1+2+3+...+n) / n^2

Question

1. Bestimmen Sie den Grenzwert der folgenden Zahlenfolge (a_n) n ∈ ℕ:

a_n = (1+2+3+...+n) / n²

Wenden Sie ggf. die Definition eines Grenzwerts bzw. geeignete Grenzwertsätze an.

 

2. Seien a und b reelle Zahlen. Die Folge (a_n) n ∈ ℕ sei gegeben durch die folgende Rekursionsvorschrift 

     a₁ := a       a₂ := b           a_n := 1/2 (a_n-1 + a_n-2 ),  n≥3

Zeigen Sie, dass (an) n ∈ ℕ konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert. 

 

 

Answer 1

Ich zeig dir mal 1.:

Behauptung: \(1+2+....+n=\sum_{i=1}^{n}{i}=\frac{n(n+1)}{2}\)

Induktion nach \(n\):

IA: \(n=1\)

$$\sum_{i=1}^{1}{i}=1=\frac{1(1+1)}{2}=1$$ wahr

IV: die Behauptung gelte für ein \(n\in \mathbb{N}\) beliebig, aber fest

IS: "\(n\rightarrow n+1\)"

$$\sum_{i=1}^{n+1}{i}=n+1+\sum_{i=1}^{n}{i}=n+1+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{2(n+1)+n(n+1)}{2}=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}$$

also: \(a_{n}=\frac{n(n+1)}{2n^{2}}=\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\) \(\Rightarrow\) \(lim_{n\rightarrow\infty} a_{n}=lim_{n\rightarrow\infty} (\frac{1}{2}+ \frac{1}{n})= lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2} + lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}\)

Comments

Danke für deine Antwort.

Weißt du eventuell, wie ich bei der zweiten Aufgabe vorgehen kann?

Answer 2

$$\text{Zu 2. Zeige per Induktion, dass für }n\ge0\text{ gilt}$$$$a_{n+1}=\frac{2b+a}3+\frac23(a-b)\cdot\left(-\frac12\right)^n.$$$$\text{Schließe daraus, dass gilt}\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{2b+a}3.$$

Comments

Ich muss die gleiche Aufgabe lösen. Leider verstehe ich diese Antwort nicht so ganz. Wieso muss n ≥ 0 gelten und nicht n ≥ 3?

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Wenn die Behauptung für  n ≥ 0  gilt, dann gilt sie insbesondere auch für  n ≥ 3. Die Gültigkeit der Behauptung für  n ≥ 0  zu zeigen erspart  Rechenarbeit beim Induktionsanfang. Durch Einsetzen von  n = 0, bzw.  n = 1  rechnet man leicht nach, dass tatsächlich  a₁ = a, bzw.  a₂ = b  ist. Was das Konvergenzverhalten der Folge betrifft ist es unerheblich ab welchem  n  die Behauptung gilt. Du kannst die Behauptung also auch für  n ≥ 3 zeigen, der Rechenaufwand wäre aber unnötig groß.

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Könntest du eventuell die Zwischenschritte erwähnen oder dasselbe Prinzip mit n>=3 ausprobieren?

Am besten nur den Anfang und ich gucke mal , wie weit ich komme.  Wie kann ich erkennen , dass die Folge konvergiert? :-)

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Wie kann ich denn die zweite Aufgabe per Induktion lösen?

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$$\text{Behauptung: }a_{n+1}=\frac{2b+a}3+\frac23(a-b)\cdot\left(-\frac12\right)^n.$$Beweis per Induktion über n.
Induktionsanfang: Für  n = 0  und  n = 1  rechnet man unmittelbar nach, dass  a₁ = a  und  a₂ = b  gilt.
Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung  gelte für ein  n > 0.
Induktionsschritt: Zu zeigen ist, dass die Behauptung für  n + 1  gilt.
Nach Definition und Induktionsvoraussetzung ist$$a_{n+2}=\frac12(a_{n+1}+a_n)$$$$=\frac12\left(\frac{2b+a}3+\frac23(a-b)\cdot\left(-\frac12\right)^n+\frac{2b+a}3+\frac23(a-b)\cdot\left(-\frac12\right)^{n-1}\right)$$$$=\frac{2b+a}3+\frac13(a-b)\cdot\left(\left(-\frac12\right)^n+\left(-\frac12\right)^{n-1}\right)$$$$=\frac{2b+a}3+\frac13(a-b)\cdot\left(-\frac12\right)^n\cdot(1-2)$$$$=\frac{2b+a}3+\frac23(a-b)\cdot\left(-\frac12\right)^{n+1}.$$Daraus folgt die Behauptung.

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Danke. Und wie erkenne ich, ob die Folge konvergiert?

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Wegen \(\lim\limits_{n\to\infty}\left(-\frac12\right)^n=0\) konvergiert in dieser Darstellung der zweite Summand gegen Null. Übrig bleibt der von \(n\) unabhängige erste Summand, d.h. es gilt \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\frac{2b+a}3\).