Residuensatz - Skizze

Question

Berechne das folgende Integral mit Hilfe des Residuensatzes. Fertige eine Skizze an.

Wie schaut die Skizze dazu aus? DANKE!

Text erkannt:

\( \oint \frac{\cos (z)}{(z-\pi)(z+i)(z-1)} d z \quad C:|z-3|=1 \)
Polstelle bet \( \quad z_{0}=\pi \)
Residuentssatz: \( \quad \oint_{C} f(z) d z=2 \pi i \sum \limits_{k} R\left(z_{k}\right) \)
\( \begin{aligned} R\left(z_{0}\right)=R(\pi) &=\lim \limits_{z \rightarrow z_{0}}\left(z-z_{0}\right) f(z) \\ &=\lim \limits_{z \rightarrow \pi}\left(z_{1} \pi\right) \cdot \frac{\cos (z)}{(z-\pi)^{2}(z+i)(z-1)} \\ &=\frac{\cos (\pi)^{2}}{(\pi+i)(\pi-1)}=-\frac{1}{(\pi+i)(\pi-1)} \end{aligned} \)
\( \Rightarrow \oint \frac{\cos (z)}{(z-\pi)(z+i)(z-1)} d z=-2 \pi i \cdot \frac{1}{(\pi+i)(\pi-1)} \)

Answer 1

Hallo,

ich denke Du sollst C darstellen, also einen Kreis um den Punkt 3 in der komplexen Ebene mit den Radius 1. Und ebenso die Punkte, die eventuelle Problemstellen sind, also \(\pi\), \(1\) und  \(-i\). Und dann "sieht" man, welche davon innerhalb des Kreises liegen.

Gruß