Symmetrisches intervall bestimmen

Question

Kann mir  bitte jemand genau erklären wie man das rechnet.

Gegeben ist eine N(μ;σ) verteilte Zufallsvariable x. Bestimme ein symmetrisches interval [a;b] um den Erwartungswert, dessen Werte mit einer Wahrscheinlichkeit von ϒ angenommen werden (P(a≤x≤b) =ϒ)

N(0;1);ϒ=0,99

Danke

Answer 1

N(0;1) ist doch direkt die Standardnormalverteilung. Da brauchst du doch nichtmal etwas umrechnen

Φ(k) = 0.5 + 0.99/2 --> k = 2.576

Also [-2.576 ; 2.576]

Comments

Ich verstehe nicht wie man auf das K kommt

Habe gestern schon eine Frage rein gestellt die du mir beantwortet hast

0,5+0,95/2 =1,960

Wie bist du auf 1,960 gekommen? Ich bekomme 0,975 raus, dass stimmt eh nicht.

 einfach 0,5+0,95/2 in den Taschenrechner eintippen stimmt ja nicht

Answer 2

Aloha :)

Wir wissen, dass $a$ und $b$ symmetrisch um den Erwarungswert $\mu$ liegen sollen, das heißt:$$a=\mu-s\quad;\quad b=\mu+s$$Damit können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit umschreiben:$$P(a\le X\le b)=P(X\le b)-P(X\le a)=P(X\le \mu+s)-P(X\le \mu-s)$$Nun normalisieren wir die Wahrscheinlichkeiten auf die Standard-Normalverteilung $\theta=N(0;1)$:$$P(a\le X\le b)=\theta\left(\frac{\overbrace{(\mu+s)}^{=b}-\mu}{\sigma}\right)-\theta\left(\frac{\overbrace{(\mu-s)}^{=a}-\mu}{\sigma}\right)=\theta\left(\frac{s}{\sigma}\right)-\theta\left(-\frac{s}{\sigma}\right)$$Wegen der Symmetrie der Normalverteilung ist $\theta(z)+\theta(-z)=1$ bzw. $\theta(-z)=1-\theta(z)$$$P(a\le X\le b)=\theta\left(\frac{s}{\sigma}\right)-\left(1-\theta\left(\frac{s}{\sigma}\right)\right)=2\theta\left(\frac{s}{\sigma}\right)-1$$Die Wahrscheinlichkeit $P(a\le X\le b$ soll gleich $0,99$ sein:$$0,99=2\theta\left(\frac{s}{\sigma}\right)-1\quad\Leftrightarrow\quad \theta\left(\frac{s}{\sigma}\right)=\frac{1,99}{2}=0,995$$Wir ermitteln (Tabelle oder Rechner): $\theta(2,57582930)=0,995$. Das heißt:$$\frac{s}{\sigma}=2,57582930\quad\Leftrightarrow\quad s=2,57582930\,\sigma$$Damit haben wir die Werte $a$ und $b$ gefunden:

$$P(\underbrace{\mu-2,57582930\,\sigma}_{=a} \le X\le \underbrace{\mu+2,57582930\,\sigma}_{=b})=0,99$$