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Aufgabe: Kern und Bild bestimmen von L:  ℝ3 --> P(3) mit x ↦ a × x   mit festem a ∈ ℝ

Für den Kern habe ich die Matrix aufgelöst und erhalte als Lösung:

x3= a3/a2* x2

x1= -a1/a3* x3

x2= a2/a1* x1

Wie kann ich diese Lösung als Vektor schreiben? Muss ich alles nach z.B x2 umparametrisieren?


Ich wäre echt dankbar für jede Hilfe!

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Im Kern liegen alle Vektoren x, die zu a parallel sind

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Beste Antwort

Hallo,

du kannst x1 x_1 in x2 x_2 einsetzen und x2 x_2 in x3 x_3 einsetzen:

x3=a3a2a2a1a1a3x3=x3 x_3 = - \frac{a_3}{a_2} \frac{a_2}{a_1} \frac{a_1}{a_3} x_3 = - x_3 .

Daraus folgt x3=0 x_3 = 0 . Dies wiederum impliziert x1=0 x_1 = 0 , was x2=0 x_2 = 0 bedeutet: Der Nullvektor gehört zum Kern von L L .

Eine weitere Lösung ergibt sich aus xi=cai x_i = c a_i für i=1,2,3 i = 1, 2, 3 : Die zu a a parallelen Vektoren gehören zum Kern von L L .

Du müsstest an geeigneter Stelle noch diskutieren, wie du vorgehst, wenn ai=0 a_i = 0 für eines oder mehrere der ai a_i gilt.

Grüße

Mister

Avatar von 8,9 k

Wow super vielen lieben Dank für die schnelle Antwort Mister!!!

Bitteschön. ~

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