die Aufgabenstellung lautet: Gibt es einen Wert für t, so dass ein Minimum auf der x-Achse liegt?

Question

Gegeben ist die Funktionenschar ft(x)=x⁴-tx²+2    (t > 0)

Leider komme ich nicht weiter, da ich nicht weiß, was damit gemeint ist.

Answer 1

Gibt es einen Wert für t, so dass die y-Koordinate eines Tiefpunktes 0 ist?

Comments

Ich verstehe es leider noch immer noch nicht :,)

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Bestimme die Tiefpunkte von f_t.

Setze die y-Koordinate eine Tiefpunktes gleich Null und löse die Gleichung.

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Also die erste Ableitung gleich null setzten?

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Ja, genau. So wie man das halt macht um Tiefpunkte zu bestimmen.

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Vielen Dank TT

Answer 2

Um die Aufgabe besser zu verstehen, ist es sinnvoll erst einmal ein Bild anzugucken:

$$f_t(x)=x^4-tx^2+2$$

Wenn die Minima auf der x-Achse liegen, hat die Funktion genau zwei Nullstellen.

$$0=x^4-tx^2+2~~~~~~~~~z=x^2; z^2=x^4; x=\pm\sqrt z$$
$$0=z^2-tz+2$$

$$z_{12}=\frac{t}{2}\pm\sqrt{\frac{t^2}{4}-2}$$

Damit es genau zwei Nullstellen gibt, muss der Ausdruck unter der Wurzel gleich Null sein.

$$\frac{t^2}{4}-2=0\Rightarrow \frac{t^2}{4}=2 \Rightarrow t^2=8 \Rightarrow t=\sqrt 8 =2\cdot \sqrt 2 \approx 2,8284$$

Für $\frac{t^2}{4}-2<0$ gibt es keine reelle Nullstelle, da unter der Wurzel dann eine negative Zahl steht.

Für $\frac{t^2}{4}-2>0$ gibt es vier reelle Nullstellen, da $\frac{t}{2}\pm\sqrt{\frac{t^2}{4}-2}$ zwei positive Werte für z liefert, sodass es vier Lösungen für x gibt. Bleibt noch zu klären, warum $\frac{t}{2}-\sqrt{\frac{t^2}{4}-2}$ nicht negativ ist. Unter der Wurzel steht eine Term, dessen Wert kleiner als $\frac{t^2}{4}$ ist. Damit gilt $\frac{t}{2}>\sqrt{\frac{t^2}{4}-2}$ und damit $\frac{t}{2}-\sqrt{\frac{t^2}{4}-2} >0$.

 

Comments

Ich verstehe ihre letze Rechnung nicht ganz: t²/4−2=0⇒=√8=2⋅√2≈2,8284

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Ich habe Zwischenschritte ergänzt. Ist es jetzt klar?

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Und wie konnten sie die Funktionenschar einzeichnen?

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Zum Zeichnen benutze ich desmos. Da habe ich den gegebenen Term eingegeben, den Regler für t hinzugefügt und konnte mir die Kurven für verschiedene t-Werte ansehen.

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Bei einem Beispielgraph sollte man vielleicht die genaue Funktionsgleichung angeben.

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@Wolfgang: Dass in dem Fall $t=\sqrt 8$ ist, habe ich danach ja vorgerechnet.

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Ich verstehe ihre Zwischenschritten aber ich verstehe nicht warum Sie t²/4 -2=0 gesetzt haben. Von wo kommt die t²/4 -2? Die t/2 +- √ kann doch nicht auf einmal verschwunden sein oder nicht?

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Ich verstehe ihre letze Rechnung nicht ganz: t²/4−2=0⇒=√8=2⋅√2≈2,8284

WAS verstehst du nicht?

t²/4−2=0 wird mit den Rechenbefehlen 

     |+2

und

     |*4

umgewandelt zu t²=8.

Oder verstehst du nicht, dass man √8 als 2⋅√2 schreiben kann?

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aber ich verstehe nicht warum Sie t2/4 -2=0 gesetzt haben

Wer lesen kann, ist klar im Vorteil:

Damit es genau zwei Nullstellen gibt, muss der Ausdruck unter der Wurzel gleich Null sein.

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Wie gesagt ich verstehe die Zwischenschritten aber ich verstehe nicht wo die t²/2 kommt?

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Damit es genau zwei Nullstellen gibt, muss der Ausdruck unter der Wurzel gleich Null sein.

Das reicht tatsächlich aus, um t zu bestimmen.

Mit z=t/2 kannst du dann den x-Wert berechnen.

$$x=\pm\sqrt{t/2}=\pm\sqrt{\sqrt{\small 2}}\approx\pm 1,1892$$

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Du kannst die Aufgabe auch so lösen, wie Oswald es beschrieben hat. Ich wollte nur zeigen, dass es auch noch einen anderen Lösungsweg gibt.

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Zitat: Damit es genau zwei Nullstellen gibt, muss der Ausdruck unter der Wurzel gleich Null sein.

Woran stellen sie fest, dass es zwei Nullstellen gibst?

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Ist dir klar, dass der Graph der gegebenen Funktion symmetrisch zur y-Achse ist?

Wenn es also z.B. die positive  Nullstelle x=4 gibt, muss es auch die negative Nullstelle x=-4 geben.

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Ich habe meine Antwort ergänzt für die Fälle, dass unter der Wurzel eine negative bzw. positive Zahl steht.

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Da keine Rückmeldung mehr kommt, klopfe ich mir selbst auf die Schulter.   :-)

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Vielleicht wäre es für den FS weniger verwirrend gewesen, wenn du den Ansatz von Oswald aufgegriffen hättest. Damit will ich dich aber nicht vom Klopfen abhalten ;-)