Beweis: ∀ α∈K, ∃ ψ: V → V mit det (ψ) = α

Question

Zeigen Sie, dass für jede Zahl α ∈ K ein Endomorphismus des Vektorraumes V ≠ 0 existiert, dessen Determinante α ist.

Answer 1

Sei a∈Κ beliebig. Definiert wird ein Endomorphismus, dessen Darstellungsmatrix bezüglich der kanonischen Einheitsbasis eine Diagonalmatrix mit a im ersten Diagonaleintrag und ansonsten einer 1 in den Diagonalen. Die Determinante dieser Matrix ist a. Da a beliebig war, gilt es für alle a.

q.e.d

Comments

Ja oder? vorausgesetzt V ist endlichdimensional

---

Das habe ich vorausgesetzt, weil die Aussage sonst i.A nicht gilt.

Answer 2

Hallo,

hat nicht jener Endomorphismus, der den ersten Vektor der kanonischen Basis um \( \alpha \) streckt (und die anderen Basisvektoren unverändert lässt), die Determinante \( \alpha \)?

Grüße

Mister

Comments

Ja oder? Wie zeig ich das denn?

---

Vielleicht kann man über die darstellende Matrix gehen?