Beweis: ∀ α∈K, ∃ ψ: V → V mit det (ψ) = α

Question

Zeigen Sie, dass für jede Zahl α ∈ K ein Endomorphismus des Vektorraumes V ≠ 0 existiert, dessen Determinante α ist.

Answer 1

Sei a∈Κ beliebig. Definiert wird ein Endomorphismus, dessen Darstellungsmatrix bezüglich der kanonischen Einheitsbasis eine Diagonalmatrix mit a im ersten Diagonaleintrag und ansonsten einer 1 in den Diagonalen. Die Determinante dieser Matrix ist a. Da a beliebig war, gilt es für alle a.

q.e.d

Comments

Ja oder? vorausgesetzt V ist endlichdimensional

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Das habe ich vorausgesetzt, weil die Aussage sonst i.A nicht gilt.

Answer 2

Hallo,

hat nicht jener Endomorphismus, der den ersten Vektor der kanonischen Basis um $\alpha$ streckt (und die anderen Basisvektoren unverändert lässt), die Determinante $\alpha$?

Grüße

Mister

Comments

Ja oder? Wie zeig ich das denn?

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Vielleicht kann man über die darstellende Matrix gehen?