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Aufgabe: I3 \sqrt[3]{I}  in trigonometrischer und kartesischer Form angeben.


Hi, ich verstehe nicht wie ich auf die Winkel grad bei der Aufgabe kommen soll.

Ich habe |r| = 1 raus aber wenn ich dann den Winkel benötige wäre das doch 1/0 was nicht geht funktioniert ?

Wäre super wenn mir jemand einen Ratschlag geben könnte :-)

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Aloha :)i=0+1i=cosπ2+isinπ2=eiπ/2=ei(π/2+2πn);nZi=0+1\cdot i=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=e^{i\pi/2}=e^{i(\pi/2+2\pi n)}\quad;\quad n\in\mathbb Zi3=i1/3=(ei(π/2+2πn))1/3=ei(π6+2π3n);nZ\sqrt[3]{i}=i^{1/3}=\left(e^{i(\pi/2+2\pi n)}\right)^{1/3}=e^{i\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}n\right)}\quad;\quad n\in\mathbb ZInnerhalb des Intervalls [02π][0|2\pi] finden wir 3 Winkel für n=0,1,2n=0,1,2:

i3=ei(π6+2π3n)  ;  n=0,1,2;i3={eiπ/6,ei5π/6,ei9π/6}\sqrt[3]{i}=e^{i\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}n\right)}\;;\;n=0,1,2\quad;\quad\sqrt[3]{i}=\left\{e^{i\pi/6}\,,\,e^{i5\pi/6}\,,\,e^{i9\pi/6}\right\}

Ich habe noch die kartesische Form vergessen:

eiπ/6=cosπ6+isinπ6=32+12ie^{i\pi/6}=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}\,iei5π/6=cos5π6+isin5π6=32+12ie^{i5\pi/6}=\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}\,iei9π/6=cos9π6+isin9π6=0+ie^{i9\pi/6}=\cos\frac{9\pi}{6}+i\sin\frac{9\pi}{6}=0+i

Avatar von 153 k 🚀

Hi, danke für die Antwort (:

Wie genau berechne ich hier die Winkel? Gibt es da eine allgemeine Formel?

Bei manchen Aufgaben die ich habe ist das Argument bzw. der Winkel 0 Grad und hier ist er Pie/2?


Kann man hier mit dem arctan (imaginär Teil/ RE) nich arbeiten ?

Du kannst den Winkel auch mit arctan\arctan berechen:φ=arctan(ImRe)\varphi=\arctan\left(\frac{\text{Im}}{\text{Re}}\right)Das ist hier allerdings nicht möglich, wei der Realteil 00 ist und du dann durch 00 dividieren würdest.

Deswegen habe ich die Euler-Formel benutzt:

eiφ=cosφ+isinφ;cosπ2=0  ;  sinπ2=1e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi\quad;\quad\cos\frac{\pi}{2}=0\;;\;\sin\frac{\pi}{2}=1

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