Darstellung komplexer Zahlen in der Form w = u+iv.

Question

Bin etwas unschlüssig bei folgendem Beispiel:

Stellen sie den Wert von w=e^1/z=e^1/(x+iy) in der Form w = u+iv dar.

Ich komme nach etwas umformeren auf ln(w) = u +iv mit u = x und v = iy.

Kann man das so gelten lassen bzw. hat wer eine bessere Lösung?

Comments

meinst du   e¹/z  = e/z   oder e^1/z ?

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Ich meinte e^1/z also den gesamten Bruch im Exponenten.  Also wenn ich jetzt mit der konjugiert komplpexen Zahl erweitere so wie Roland das geschrieben hat dann habe ich e^{(x-iy)/(x^1+y^2)}. Wie komme ich aber zur Form w=u+v?

Answer 1

e^{1/z}=e^ (1/(x+iy))=exp((x-iy)/(x²+y²))=exp(x/(x^2+y^2))*exp(-iy/(x^2+y^2))

=exp(x/(x^2+y^2))*[cos(-y/(x^2+y^2))+i*sin(-y/(x^2+y^2))]

=exp(x/(x^2+y^2))*[cos(y/(x^2+y^2))-i*sin(y/(x^2+y^2))]

 u(x,y)=exp(x/(x^2+y^2))*cos(y/(x^2+y^2))

v(x,y)=exp(x/(x^2+y^2))*sin(y/(x^2+y^2))

Comments

Ahh ok alles verstanden bis den Term wo du aus cos(-y/(x^2+y^2)) das - raus ziehst. Ist das ein additionstheorem? Bzw. kann ich das doch auch lassen und stattdessen einfach w=u+v schreiben wie es ja eigentlich verlangt ist. Danke auf alle Fälle für die Hilfe!

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Bei dem letzten Schritt habe ich die Achsen bzw. Punktsymmetrie von COS und sin genutzt:

COS(-x)=COS(x)

sin(-x)=-sin(x)

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Achso ok das war mir nicht bekannt. Trotzdem danke!

Answer 2

Erweitern mit dem konjugiert Komplexen ergibt e(x-iy)/(x²+y²). Dann ist u =e/(x²+y²) und v=  -e/(x²+y²).