Ertrag eines Feldes mit Einsatz von Dünger und Veränderung des Inputs

Question

Aufgabe:

Ein Ackerbau wird mit x₁ Einheiten Naturdünger und mit x₂ Einheiten Kunstdünger behandelt. Die Ertragsfunktion lautet:

$E=f\left(x_{1}, x_{2}\right)=688+5 x_{1}-1 x_{1}^{2}+9 x_{2}-4 x_{2}^{2}+8 x_{1} x_{2}$

Der Düngemitteleinsatz von derzeit 8 Einheiten Naturdünger und 9 Einheiten Kunstdünger wird geändert, so dass 3.9% weniger Naturdünger und 1.2% mehr Kunstdünger eingesetzt werden.

a) Approximieren Sie die Änderung des Ertrags mit Hilfe des totalen Differentials.

b) Wie hoch ist die exakte Veränderung des Ertrags?

f(x,y)= 688+5x-x²+9y-4y²+8xy

f´(x,y)=  (-2x+8y+5, 8x+8y+9). → Abgeleitet nach x bzw. y

a)

f´(8,9)•(5•(-0,039), 5•0,012)=

b)
f(5•(1-0.039, 5•(1+0,012))- f(8,9)=

Ich bin mir jedoch nicht sicher stimmt die rechnung so? Falls ja was ist das Ergebnis?

Answer 1

f(x, y) = 688 + 5·x - x² + 9·y - 4·y² + 8·x·y

f'(x, y) = [- 2·x + 8·y + 5, 8·x - 8·y + 9]

f'(8, 9)·[- 0.039·8, 0.012·9] = -18.924

f(8·(1 - 0.039), 9·(1 + 0.012)) - f(8, 9) = -19.337568

Comments

Wie sieht die Rechnung ausgeschrieben aus?

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f'(8, 9)·[- 0.039·8, 0.012·9]
= [- 2·8 + 8·9 + 5, 8·8 - 8·9 + 9]·[- 0.039·8, 0.012·9]
= (- 2·8 + 8·9 + 5)·(- 0.039·8) + (8·8 - 8·9 + 9)·(0.012·9)
= -18.924