Zeigen, dass x genau dann ein Grenzwert der Folge (an)n ist, wenn für jedes 0 nur für endlich viele Folgenglieder gilt.

Question

ich bräuchte Hilfe für die folgende Aufgabe, bei der ich sehr hilflos bin...

Es sei (an)n(beide klein n) (wobei das zweite n ∈ ℕ) eine Folge über einem Vektorraum V und ||.|| : V → ℝ eine Norm auf V. Zeigen, dass x genau dann ein Grenzwert der Folge (an)n ist, wenn für jedes ε ∈ ℝ mit ε > 0 nur für endlich viele Folgenglieder gilt.

Answer 1

Grenzwertdefinition ist doch hier:

x ist Grenzwert von (a_n)_n∈ℕ   <=>  Für alle ε ∈ ℝ mit ε > 0 gibt es ein N∈ℕ
                                                            mit n>N ==>  ||a_n-x|| < ε.

Wenn es für jedes ε ∈ ℝ mit ε > 0 nur endlich viele Folgenglieder

mit  ||a_n-x|| ≥ ε, dann ist für jedes ε die Menge  { n∈ℕ  |  ||a_n-x|| ≥ ε }

endlich, besitzt somit ein Maximum. Wähle dieses für das N aus der

Definition und die Def. ist erfüllt.

Comments

Was genau wählen?

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Das Maximum der Menge  { n∈ℕ  |  ||an-x|| ≥ ε }.

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Ich bin ganz schlecht bei dieser Art von Aufgaben.. was wäre in meinem Fall das Maximum?

Tut mir leid für die blöde Frage..

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Das ist ja nicht genau gesagt. Aber wenn N das maximum ist, dann

gilt für alle n>N eben   ||an-x|| < ε , also ist die GW-Definition erfüllt.