K kompakt genau dann wenn K endlich viele Elemente?

Question

Sei (X,d) ein metrischer Raum mit der trivialen Metrik, also d(x,y)=0 wenn x=y und d(y,x)=1 sonst.

Beweise: Teilmenge \(K\subset X\) ist genau dann kompakt, wenn K endlich viele Elemente enthält

Answer 1

Versuch doch mal, aus endlich vielen Elementen eine (unendliche) Folge zu konstruieren, ohne (mindestens) ein Element staendig zu wiederholen.

Comments

verstehe nicht genau was du meinst.

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In metrischen Raeumen gilt: Kompaktheit = Folgenkompaktheit.

Was kann man ausserdem ueber bzgl. der diskreten Metrik konvergente Folgen sagen?

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Weiss ich nicht?!?

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"Weiss ich nicht" ist ein bisschen arg schwach, wenn schon bei Wikipedia steht, dass bezueglich der diskreten Metrik genau die Folgen konvergieren, die bis auf Anfangsglieder konstant sind.

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verstehe den Zusammenhang zur Aufgabe aber immer noch nicht?

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Ausgangslage: Eine Folge \((x_n)\) mit \(x_n\in K\).

Zu untersuchende Frage: Gibt es stehts eine konvergente Teilfolge \((x_{n_k})\) mit Grenzwert in \(K\)?

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Dh isch muss nur beweisen dass es stets eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in K gibt?