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Aufgabe:

wie kann Ich folgende Funktion ableiten? (Mit Erklärung bitte)

ln(\( \frac{x²}{x-2} \) )

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Hi,

Nutze die Logarithmengesetze.

\(\ln\left(\frac{x^2}{x-2}\right) = \ln(x^2) - \ln(x-2) = 2\ln(x) - \ln(x-2)\)

Dann kein Problem mehr, oder? ;)


Grüße

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$$f(x)=\ln(\frac{x²}{x-2})$$

Die Ableitung kannst du auf verschiedene Arten bilden.

1. Elegant:

Erst den Logarithmus umformen, dann ausnutzen, dass \(\ln x\) abgeleitet zu \(1/x\) wird.

$$f(x)=\ln(\frac{x²}{x-2})= 2\ln x - \ln(x-2)\\ \Rightarrow f'(x)=\frac{2}{x}-\frac{1}{x-2}=\frac{2(x-2)-x}{x(x-2)}=\frac{x-4}{x^2-2x}$$


2. Umständlich, aber auch richtig: 

Mit Kettenregel und Quotientenregel.

$$f(x)=\ln(\frac{x^2}{x-2})$$

Innere Funktion mit Quotientenregel ableiten: \(u(x)=\dfrac{x^2}{x-2} \Rightarrow u'(x)=\dfrac{2x(x-2)-x^2\cdot 1}{(x-2)^2}\)

Äußere Funktion ableiten: \((\ln u)'=\dfrac{1}{u}\)

$$ f'(x)=\frac{1}{(\frac{x^2}{x-2})}\cdot  \frac{2x(x-2)-x^2\cdot 1}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)}{x^2}\cdot\frac{2x(x-2)-x^2}{(x-2)^2}=\frac{2(x-2)-x}{x(x-2)}$$

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