Folgen: Rechenregeln für Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz (typische Prüfungsfrage)

Question

Gibt es bestimmte Rechenregeln um Folgen auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz (ohne Grenzwert) zu überprüfen? (Häufige Prüfungsfrage)

Wie wäre euer Vorgehen?

1) Zuerst Monotonie berechnen? Ich nehme an, das wäre die einzige Methode für Monotonie:

monoton fallend: a_n+1 ≤ a_n

monoton steigend: a_n+1 ≥ a_n

streng monoton fallend: a_n+1 < a_n

streng monoton steigend: a_n+1 > a_n

2) Beschränktheit berechnen? Bei Beschränktheit die Häufungspunkte berechnen? Bei mindestens einem Häufungspunkt ist die Folge beschränkt (von oben und unten).

3) Und zuletzt dann durch das obige auf Konvergenz schließen? Falls beschränkt und monoton steigend oder fallend = konvergent. Falls konstant = nicht konvergent. Oder gibt es dafür bestimmte Formeln?

Answer 1

Bei 2 nutzen Häufungspunkte nicht. Betrachte die Folge

a_n =   1/n  für gerades n und

              n für ungerades

HP ist 0 aber Folge nach oben unbeschränkt.

Grenzwert ist besser. dann ist sie beschränkt.

Bei 3.  konstante Folge hat den Grenzwert c.

aber z.B.:  zwei verschiedene HPe ==>  Folge nicht konvergent

oder unbeschränkt ==>   Folge nicht konvergent.