Grundlegende Frage: Woher weiß ich wieviele Fallunterscheidungen es gibt?

Question

Aufgabe:

Lösungsmenge folgender Ungleichung:

\( \frac{|x-1|}{|x-2|} \) < x - \( \sqrt{2} \)

Problem/Ansatz:

Grundlegende Frage: Woher weiß ich wieviele Fallunterscheidungen es gibt? In dem Fall würde ich sagen 3.

x < 1, dann wird x-1 & x-2 negativ.

x > 2, dann wird beides positiv

1 =< x < 2 dann wird x-1 positiv und x-2 negativ?

Aber ich kriege es leider nicht hin die Aufgabe zulösen. Wie muss ich umstellen ? Soll ich x - \( \sqrt{2} \) direkt rüberholen und auf den gleichen Nenner bringen? Hilfe? :)

Answer 1

Schoneinmal vorab

Wichtig ist wann die Betragsfunktion 0 ist.

Für über oder unter null ( positiv oder negativ ) bedeutet
die Betragsfunktion

term > 0 : | term |  = term
term < 0 : | term | = term * (-1)

Mit folgender Vorgehensweise bleibt die Übersicht erhalten

x - 1 > 0 : | x -1 | = x -1 für x >= 1
x - 1 <  0 : | x -1 | = ( x -1) * ( -1 ) für x < 1

x - 2 > 0 : | x -2 | = x -2 für x >= 1
x - 2 <  0 : | x -2 | = ( x -2) * ( -1 ) für x < 2

Zahlenstrahl

    1.)              2.)                3.)
<--------|-----------------|----------->
           1                   2

Es gibt 3 Bereiche
1.) -∞ .. 1
2.) 1 .. 2
3.) 2 .. ∞

Diese mußt du untersuchen
1.) -∞ .. 1
| x - 1 | gilt ( x -1 ) * (-1 )
| x - 2 | gilt ( x -2 ) * (-1 )

[ ( x - 1 ) * ( -1) ] / [ ( x - 2 ) * ( -1) ] < x - √2
[ ( x - 1 ) * ( -1) ] <  [ ( x - 2 ) * ( -1) ] * ( x - √2 )

-x + 1 < ( - x + 2 ) * ( x - √2 )
-x + 1  < - x^2 + 2x  + √2 x - 2

x^2 - 3x - √2 x < -2
x^2 - x * ( 3 - √2 )  < -2

keine Lösung

Bin gern weiter behilflich bis die Aufgabe gelöst ist.

Comments

Diese Rechnerei hätte man sich auch
sparen können
Auf der linken Seite steht etwas Positives
| x -1 | / | x -2 |  < x - √2
Damit die Ungleichung stimmt muß rechts auch etwas Positives stehen
x - √2 > 0
x > √2
x > 1.4142
Das widerspricht dem Zahlenbereich
1.) -∞ .. 1

---

Tut mir leid dass nun etwas Zeit vergangen ist, aber ich war die letzten Tage sehr beschäftigt.

x - 1 > 0 : | x -1 | = x -1 für x >= 1

Warum x >= 1 und nicht x > 1 für x = 1 wäre es dann ja 0 > 0 ?

-x + 1  < - x2 + 2x  + √2 x - 2

Warum -2 und nicht -2\( \sqrt{2} \)   ?

Wenn ich das ausmultipliziere kriege ich das gleiche raus nur mit -2\( \sqrt{2} \)

-x + 1  < - x2 + 2x  + √2 x - 2

x2 - 3x - √2 x < -2
x2 - x * ( 3 - √2 )  < -2

keine Lösung

Wieso verschwindet bei dem -x+1 die 1?

Und warum keine Lösung, weil es kein x € (-∞...1) gibt welche die Ungleichung erfüllt? Wie macht man das fest?

Habe mich gerade nochmal an der Aufgabe versucht aber ich kriege es einfach nicht hin.

---

Ich hoffe  bis
Es gibt 3 Bereiche
1.) -∞ .. 1
2.) 1 .. 2
3.) 2 .. ∞
kannst du mir folgen und Fall 1 wurde
abgearbeitet

| x -1 | / | x - 2| < x - √ 2
x = 2 ist eine Polstelle

Ich stelle um
| x -1 | / | x - 2| - x - √ 2 < 0
Ich lasse mir die Funktion
f = | x -1 | / | x - 2| - x - √ 2
einmal plotten

f ist < 0 unter ca 3.2 und damit wahr

Bereich 2.) zwischen 1 .. 2

In diesem Bereich ist der Zähler positiv
x - 1 .. x - 1
1 - 1 .. 2 - 1
In diesem Bereich ist der Nenner Negativ
x - 2 .. x - 2
1 - 2 .. 2 - 2
muß also mit minus 1 multiplizert werden
( x -2 ) * (-1)
-x + 2

( x -1 ) / ( -x + 2 ) < x - √ 2
( x -1 ) < ( x - √ 2 ) * ( -x + 2 )
x -1  < - x^2 + √ 2 * x - 2x - 2 √ 2
x - 1 + x^2 - √ 2 * x + 2x < - 2 √ 2
x^2 - 2.4141x + (1.2071)^2 < - 2 √ 2 + (1.2071)^2
( x - 1.2071 )^2 < -2.828 + 1.4571

rechte Seite positiv oder null
linke Seite negativ
Die Aussage stimmt nicht, keine Lösung.

So erst einmal gute Nacht

mfg Georg

Answer 2

Hallo

 erst mit dem Nenner multiplizieren, denn dann bleibt das < erhalten, weil du mit was positivem multiplizieren.  Dann die Fallunterscheidungen.

Gruß lul

Comments

Wie mache ich die Fallunterscheidungen, habe dann:

|x-1| < |\( x^{2} \) -2x-\( \sqrt{2} \)*x+2*\( \sqrt{2} \)

oder |x-1| < (x - \( \sqrt{2} \)) * (|x-2|), dann weiß ich schonmal das x != \( \sqrt{2} \) & x != 2 weil der rechte Teil der Ungleichung 0 wird und somit nicht größer |x-1|

|x-1| < 0 => x < 1 , wenn dann (x - \( \sqrt{2} \)) > 0 & |x-2| > 0 ist die Gleichung erfüllt,

weil positiv * positiv = positiv und |x-1| <0

(x - \( \sqrt{2} \)) > 0 => x > \( \sqrt{2} \)

|x-2| > 0 => 2

Meiner Meinung nacht gibt es hierfür keine Lösung weil sie die Intervalle nicht überlappen

|x-1| < 0 => x < 1, wenn dann (x - \( \sqrt{2} \)) < 0 & |x-2| < 0 ist die Gleichung erfüllt,

weil negativ * negativ = positiv und |x-1| < 0

(x - \( \sqrt{2} \)) < 0 => x < \( \sqrt{2} \)

|x-2| < 0 => x < 2

Und dann gibt es noch wenn entweder  (x - \( \sqrt{2} \)) oder |x-2| negativ ist dann wird das Ergebnis negativ

Ist das der richtige Weg? Und wie verfahre ich weiter?