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Aufgabe:

Sei φ : ℝ2→ ℝ2 orthogonale Abbildung bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

1/5 * \( \begin{pmatrix}  3& -4\\ 4& 3 \end{pmatrix} \)

 Stellen Sie φ als eine Komposition von Spiegelungen dar,


Wie könnte man das lösen ?

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Hallo,

Die orthogonale Abbildung \(\varphi\) ist eine Rotation. Jetzt muss man noch wissen, dass eine Drehung auch als zweifache (Achsen-)Spiegelung dargestellt werden kann, und der Winkel zwischen den Spiegelachsen gleich dem halben Drehwinkel ist. Ich berechne nun nicht den Drehwinkel \(\alpha\), sondern nur seinen Tangens, indem ich den Einheitsvektor in X-Richtung mit \(\varphi\) abbilde$$\varphi(e_x) = \begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix} \implies \tan \alpha = \frac 43$$nach der Halbwinkelformel ist $$\tan \frac{\alpha}2 = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1 - \frac 35}{ \frac 45} = \frac 12$$Da man die Lage der Spiegelachsen frei wählen kann, mehme ich als erste die X-Achse und als zweite Achse dann eine Gerade, die mit der X-Achse den Wert \(\alpha/2\) einschließt. Nach \(\tan(\alpha/2) = 1/2\) ist das die Gerade, die z.B. durch den Punkt \((2;1)\) verläuft.

Folgende Skizze zeigt das:

blob.png


Der analytische Weg geht so:

Die Matrix \(S\) einer Spiegelung kann wie folgt dargestellt werden:$$S = \underline 1 - 2n\cdot n^T, \quad |n| = 1$$wobei \(n\) der Vektor ist, der senkrecht auf der Spiegelachse steht. Wähle ich als erste Achse wieder die X-Achse, so ist $$n= \begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix} \implies S(n) = \begin{pmatrix}1& 0\\ 0& -1\end{pmatrix}$$Nun muss es noch eine zweite Spiegelachse - definiert durch \(u\) - geben, für die folgendes gilt$$(\underline 1 - 2u\cdot u^T) \cdot S(n) = \frac 15 \begin{pmatrix}  3& -4\\ 4& 3 \end{pmatrix}$$Auflösen nach \(S(u)\) bzw. \(u\) gibt dann$$S(u) = \frac 15 \begin{pmatrix}3& 4\\ 4& -3\end{pmatrix}, \quad u = \frac 1{\sqrt 5} \begin{pmatrix}1\\ -2\end{pmatrix}$$

von 26 k

Antwort erweitert ...

Kannst du vielleicht zeigen wie du auf das u gekommen bist ?

Kannst du vielleicht zeigen wie du auf das u gekommen bist ?

$$\eqalign{ S(u) & = \underline 1 - 2 u \cdot u^T \\ \frac 15 \begin{pmatrix}3& 4\\ 4& -3\end{pmatrix} &=\underline 1 - 2 u \cdot u^T \\ 2 u \cdot u^T &= \underline 1 - \frac 15 \begin{pmatrix}3& 4\\ 4& -3\end{pmatrix} \\ &=\frac 15 \begin{pmatrix}2& -4\\ -4& 8 \end{pmatrix} \\ u \cdot u^T &= \frac 15 \begin{pmatrix}1& -2\\ -2& 4 \end{pmatrix} \\ \implies u_x^2 &= \frac 15, \space u_y^2 = \frac 45, \space u_xu_y = - \frac 25 \\ \implies u_x &= \frac 1{\sqrt 5}, \space u_y = - \frac 2{\sqrt 5}}$$Es wäre noch das negative Ergebnis denkbar, aber die Gerade wäre die selbe.

Ah super danke, warum gilt überhaupt die Ungleichung wir hatten in der Vorlesung nur s=w-<v,w>v ist das Äquivalent ?

warum gilt überhaupt die Ungleichung wir hatten in der Vorlesung nur s=w-<v,w>v ist das Äquivalent?

welche 'Ungleichung' meinst Du?

Der Ausdruck \(w - \left< v,w\right> v\) liefert einen Vektor, der senkrecht auf  \(v\) steht. \(|v|=1\) vorausgesetzt. Und keine Abbildungsmatrix - das kann also nicht äquivalent sein.

Su = 1 - 2u*uT wie kommt man auf die Gleichung? du setzt das voraus. kann man das dann auch über −⟨,⟩ zeigen.

\(S_{u }= 1 - 2u\cdot u^{T }\) wie kommt man auf die Gleichung?

Puuh - hatte ich irgendwann mal hergeleitet. Und dann später gesehen, dass andere sie auch benutzen.

kann man das dann auch über −⟨,⟩ zeigen.

wenn Du damit \(w - \left< v,w\right> v\) meinst, dann reicht das allein sicher nicht aus, da dies ein Vektor ist und \(S\) ist eine Matrix.

Reicht Dir dieser Artikel im Wiki? - falls Du trotzdem Fragen hast, so melde Dich noch mal.

... in Kürze:

blob.png

Gegeben sei ein Einheitsvektor \(v\) (rot), der die Hyperebene (blau) definiert. Ein beliebiger Vektor \(w\) (bzw. ein Punkt) kann nun als \(w^*\) (grün) auf die Ebene projiziert werden: $$w^* = w - \left< w,v \right > v, \quad |v|=1$$Von der Spitze des Vektor \(w\) nach \(w^*\) ist es \(w^*-w\). Und von dort ist es nochmal genauso weit, bis zum Spiegelbild \(w'\) (blau):$$\eqalign{ w' &= w^* + (w^* - w) \\&= 2(w - \left< w,v \right > v) - w \\&= w - 2\left< w,v \right > v}$$Nun kann man auch schreiben$$\eqalign{ w' &= w - 2\left< w,v \right > v \\&= w - 2v \left< v,w \right > \\&= \underline 1 \cdot w - 2 v \cdot v^T \cdot w \\ &= (\underline 1 - 2 v \cdot v^T) \, w \\&= S(v) \cdot w}$$PS.: klick auf das Bild

Ah super danke für deine Hilfe

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Wenn zwei Geraden a und b sich unter einem Winkel φ schneiden und man einen beliebigen Punkt P erst an a zu P' spiegelt und dann P' an b zu P'' spiegelt, entspricht diese zweifache Spiegelung einer Drehung  vom P um den Geradenschnittpunkt mit dem Drehwinkel 2φ.

Deine gegebene Abbildung IST übrigens eine Drehung um den Ursprung.

von 17 k

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