Definitionslücke und Stetigkeit: f(x)=1/(x-2) gilt D=R\{2} unstetig in x=2, wenn 2 nicht in D?

Question

Sobald es eine Definitionslücke gibt, nennt man eine Funktion nicht stetig?

Die Definitionslücke gibt man doch üblicherweise im Definitionsbereich an (z.B. für f(x)=1/(x-2) gilt D=R\{2}) und Stetigkeit bezieht sich doch auf den Definitionsbereich einer Funktion. Also wäre doch das Beispiel f(x)=1/(x-2) stetig auf ihrem Definitionsbereich oder? Kann man dann einfach schreiben: für D=R ist die Funktion nicht stetig? Oder ist dies falsch, weil x=2 hier ja definiert wäre, was sie aber eigentlich nicht ist.

Wenn man eine Definitionslücke stetig beheben kann, nennt man die Funktion dann trotzdem noch nicht stetig?

Meine Aufgabe besteht darin, eine Funktion aufzustellen, welche in 4 divergiert und im Unendlichen, außerdem muss sie stetig sein.
Meine Idee wäre die Funktion f(x)=1/(x-4)+x D=R\{4} <- Diese Funktion ist doch aber nicht stetig oder doch stetig (wegen des Definitionsbereiches??)? Damit sie nicht nicht stetig ist, kannn ich dann einfach D=R schreiben?

Comments

  eine einfache Definition : kann ich eine Funktion ohne abzusetzen , in einem
Zug zeichnen ist sie stetig.

  Für die Stetigkeit an einer Stelle gilt : der linksseitige Grenzwert = Funktionswert =
rechtsseitiger Grenzwert.

  mfg Georg

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  fiel mir noch ein. Zitat  " Also wäre doch das Beispiel f(x)=1/(x-2) stetig auf
ihrem Definitionsbereich D = R \ {2} oder? "

  Nein Die Funktion ist stetig in den Teilbereichen

  ] - ∞ ;  2 [   und   ] 2 ; ∞ [

  mfg Georg

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Ok, vielen Dank. Nun kommt es mir aber so vor, als wäre meine Aufgabe unlösbar. Denn die gesuchte Funktion soll in 4 und im Unendlichen divergieren, d. h. ja,  es gibt eine Lücke bei x=4, was ja aber bedeutet, die Funktion ist immer nur in den Teilbereichen stetig und wegen der Unstetigkeitsstelle x=4 insgesamt nicht stetig. Aber meine gesuchte Funktion muss doch stetig sein, und ich dachte, indem ich in den Definitionsbereich x=4 nicht definiere (D=R\{4}), gelte sie als stetig auf ihrem Definitionsbereich. In der Vorlesung hieß es auch, die Funktion 1/x ist stetig auf R\{0}

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  das ist wahrscheinlich alles eine Definitionssache.

  Mir stehen unterschiedliche Quellen zur Verfügung. Eine Funktion
mit Polstelle kann nicht in einem Zug gezeichnet werden. Damit
wird sie als nicht stetig eingestuft.

  mfg Georg

Answer 1

Es gibt unterschiedliche Definitionen der Stetigkeit reeller Funktionen, die aber alle zueinander äquivalent sind und alle mit den Worten:

Eine Funktion f : D -> R ist stetig in ξ ∈ D , wenn ...

beginnen. Stetigkeit bezieht sich also immer nur auf die Punkte des Definitionsbereiches von f.

Eine Funktion heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist. Daher ist es korrekt, wenn man sagt, die reelle Funktion f = 1 / x sei stetig, denn ihr Definitionsbereich ist R \ {0} und in diesem Bereich ist sie in jedem Punkt stetig.

Answer 2

 f(x)=1/(x-4)+x mit D=R\{4} 

ist mE ok.

lim _{x--> 4+} f(x) ≠ lim_{x--> 4-} f(x) ist genug für Unstetigkeit. Da muss f(4) gar nicht unbedingt definiert sein.

Bei Stetigkeit müsste neben diesen beiden Grenzwerten auch der Funktionswert bei 4 gleich sein:

lim _{x--> 4+} g(x) = lim_{x--> 4-} g(x) = g(4)

Das ist ja hier nicht der Fall. Die Definitionslücke ist auch nicht stetig hebbar, weil die Grenzwerte von links und rechts nicht gleich sind.

Also mE: Wo man Stetigkeit nicht beweisen kann, ist die Funktion unstetig.

Comments

Ok, vielen Dank. Das klingt zwar alles einleuchtend, mich verwirrt aber einfach, dass mein Dozent in der Vorlesung die Funktion 1/x stetig auf D=R\{0} erklärt hat.

Du meinst also, die Funktion ist nicht stetig. Wie also kann man die Aufgabe lösen? Nämlich dass eine stetige Funktion in 4 und im Unendlichen divergiert? Damit dies funktioniert, benötige ich doch zwei Funktionsäste, welche ich durch eine Polstelle bekomme, aber solch eine Funktion kann niemals stetig sein oder wie? Ich hätt mir die Aufgabe damit gelöst, dass die Funktion für x=4 nicht definiert ist und somit weder Stetigkeit noch Unstetigkeit in dem Punkt existiert (klingt doch irgendwie logisch, hehe), also ist die Funktion auf ihrem Definitionsbereich stetig.

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Wähle einfach  D = { x ∈ ℝ : x > 4 }. Dann ist  f  stetig auf  D.

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Dann kann leider nichts mehr in 4 divergieren :-P

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Ach quatsch, geht ja von rechts! Ok vielen Dank, so umgeh ich also das Problem :-D

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Meine Rechnung zeigt nur, dass f(x) in 4 unstetig ist. Überall sonst (in z≠4) ist f(z) stetig, da dort

lim _{x--> z+} f(z) = lim_{x--> z-} f(z) = f(z)

An der Stelle x = 4 ist die Funktion nicht definiert.

Wenn du

 f(x): =1/(x-4)+x , für x≠4 und

f(x):=0 ,                für x=4.

Hast du eine Funktion, die in ganz R definiert ist und an der Stelle x=4 nicht definiert ist.