Aufgabe:
Das unitäre Polynom \( t^{2}+1 \) ist im \( \operatorname{Ring} \mathbb{F}_{3}[t] \) irreduzibel. Daher ist \( \mathbb{F}_{9} \cong \mathbb{F}_{3}[t] /\left(t^{2}+1\right) . \) Schreiben Sie \( \alpha:=[t] . \) Dann ist \( \mathbb{F}_{9}=\mathbb{F}_{3} \cdot 1+\mathbb{F}_{3} \cdot \alpha \) ein \( \mathbb{F}_{3} \) -Vektorraum mit Basis \( 1, \alpha, \) und es gilt \( \alpha^{2}=2 . \) Die multiplikative Gruppe \( \mathbb{F}_{9}^{*} \) ist zyklisch und hat 8 Elemente, also hat sie \( \varphi(8)=4 \) erzeugende Elemente.
Geben Sie diese 4 erzeugenden Elemente an. Wählen Sie eines dieser Elemente - es wird hier \( b \) genannt - und berechnen Sie alle Potenzen \( b^{k} \) für \( k=0,1,2,3,4,5,6,7 \)
Problem/Ansatz:
Ich komme noch darauf, welche die 8 Elemente der Gruppe sind, aber woher weiß ich jetzt, welche gerade Erzeugende sind? Das ist die Lösung, die hilft mir nur leider gar nicht weiter.
Die 4 erzeugenden Elemente sind \( b:=\alpha+1, \alpha+2,2 \alpha+1 \) und \( 2 \alpha+2 \).
Das folgt aus folgenden Rechnungen:
$$ \begin{aligned} b^{0} &=1 \\ b^{1} &=\alpha+1 \\ b^{2} &=(\alpha+1)^{2}=\alpha^{2}+2 \alpha+1=2 \alpha \\ b^{3} &=(\alpha+1) \cdot 2 \alpha=2 \alpha^{2}+2 \alpha=2 \alpha+1 \\ b^{4} &=(\alpha+1) \cdot(2 \alpha+1)=2 \alpha^{2}+3 \alpha+1=2 \\ b^{5} &=(\alpha+1) \cdot 2=2 b^{1}=2 \alpha+2 \\ b^{6} &=(\alpha+1) \cdot(2 \alpha+2)=2 b^{2}=\alpha \\ b^{7} &=(\alpha+1) \cdot \alpha=2 b^{3}=\alpha+2 \end{aligned} $$
