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Aufgabe:


Gegeben sei die Funktion f : ]1,[R,f(x)=x1+x f:]-1, \infty\left[\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x}}\right.

1.) Berechnen Sie das Taylorpolynom Tf,2,2(x) T_{f, 2,2}(x) von f f zweiter Ordnung an der Entwicklungsstelle x0=2 x_{0}=2
2.) Schätzen Sie f(x)Tf,2,2(x) \left|f(x)-T_{f, 2,2}(x)\right| für x[1,3] x \in[1,3] unabhängig von x x ab.


Problem/Ansatz:

Das n n -te Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle aI a \in I ist definiert durch:
Tnf(x;a)=k=0nf(k)(a)k!(xa)k=f(a)+f(a)1!(xa)+f(a)2!(xa)2++f(n)(a)n!(xa)n \begin{aligned} T_{n} f(x ; a) &=\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k !}(x-a)^{k} \\ &=f(a)+\frac{f^{\prime}(a)}{1 !}(x-a)+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2 !}(x-a)^{2}+\ldots+\frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n} \end{aligned}

Ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe

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Aloha :)

Da die Quotientenregel zum Ableiten doof ist, machen wir zuerst folgende Umformung:f(x)=x1+x=1+x11+x=1+x1+x11+x=1+x11+xf(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x}}=\frac{1+x-1}{\sqrt{1+x}}=\frac{1+x}{\sqrt{1+x}}-\frac{1}{\sqrt{1+x}}=\sqrt{1+x}-\frac{1}{\sqrt{1+x}}f(x)=(1+x)12(1+x)12f(x)=(1+x)^{\frac{1}{2}}-(1+x)^{-\frac{1}{2}}f(x)=12(1+x)12+12(1+x)32f'(x)=\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{3}{2}}f(x)=14(1+x)3234(1+x)52f''(x)=-\frac{1}{4}(1+x)^{-\frac{3}{2}}-\frac{3}{4}(1+x)^{-\frac{5}{2}}

Speziell an der Stelle x0=2x_0=2 finden wir:f(2)=312312=312(131)=3(113)=233f(2)=3^{\frac{1}{2}}-3^{-\frac{1}{2}}=3^{\frac{1}{2}}\left(1-3^{-1}\right)=\sqrt3\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}\sqrt3f(2)=12312+12332=123(1+13)=12343=4318=293f'(2)=\frac{1}{2}\,3^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\,3^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{2\sqrt3}\left(1+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2\sqrt3}\,\frac{4}{3}=\frac{4\sqrt3}{18}=\frac{2}{9}\sqrt3f(2)=1433234352=143(13+319)=14323=1183f''(2)=-\frac{1}{4}\,3^{-\frac{3}{2}}-\frac{3}{4}\,3^{-\frac{5}{2}}=-\frac{1}{4\sqrt3}\left(\frac{1}{3}+3\cdot\frac{1}{9}\right)=-\frac{1}{4\sqrt3}\,\frac{2}{3}=-\frac{1}{18}\sqrt3

Wir können damit die gewünschte Taylor-Näherung formulieren:Tf,2,2(x)=f(2)+f(2)(x2)+12f(2)(x2)2T_{f,2,2}(x)=f(2)+f'(2)\cdot(x-2)+\frac{1}{2}f''(2)\cdot(x-2)^2Tf,2,2(x)=233+239(x2)336(x2)2T_{f,2,2}(x)=\frac{2\sqrt3}{3}+\frac{2\sqrt3}{9}(x-2)-\frac{\sqrt3}{36}(x-2)^2

Zur Restgliedabschätzung können wir nach Lagrange das Betragsmaximums des nächstfolgenden Taylor-Summanden im Intervall x[1;3]x\in[1;3] heranziehen.

f(x)=38(1+x)52+158(1+x)72f'''(x)=\frac{3}{8}(1+x)^{-\frac{5}{2}}+\frac{15}{8}(1+x)^{-\frac{7}{2}}f(2)=38(3)52+158(3)72=183(319+15127)=18389=1273f'''(2)=\frac{3}{8}(3)^{-\frac{5}{2}}+\frac{15}{8}(3)^{-\frac{7}{2}}=\frac{1}{8\sqrt3}\left(3\cdot\frac{1}{9}+15\cdot\frac{1}{27}\right)=\frac{1}{8\sqrt3}\cdot\frac{8}{9}=\frac{1}{27}\sqrt3Rf,2,2(x)=13!1273(x2)3=3162(x2)3<3162fu¨rx[1;3]R_{f,2,2}(x)=\left|\frac{1}{3!}\cdot\frac{1}{27}\sqrt3\cdot(x-2)^3\right|=\left|\frac{\sqrt3}{162}(x-2)^3\right|<\frac{\sqrt3}{162}\quad\text{für}\quad x\in[1;3]Die maximale Abweichung liegt also bei 31620,0107\frac{\sqrt3}{162}\approx0,0107.

Avatar von 153 k 🚀

Danke Tsckakabumba, für die ausführliche Antwort, kannst du mir bei dieser Aufgabe helfen?

https://www.mathelounge.de/733154/untersuchung-der-reihen-auf-konver…

Ja gerne, ich habe dir unter dem Thread geantwortet ;)

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Hallo

 du musst doch nur die ersten 2 Ableitungen der funktion ausrechnen, und x=2 einsetzen und dann in die gegebene Formel einsetzen mit a=2? zur Kontrolle der Ableitungen kannst du ja den Rechenfreund hier im Forum (rechter Rand) benutzen .

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

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