Aufgabe interpretieren von Gesprächsdauer mit Wahrscheinlichkeit?

Question

Die Zufallsvariable X bezeichnet die voraussichtliche Gesprächsdauer (in Minuten) eines Gesprächs bei einer Telefonhotline. Die maximale Gesprächsdauer ist 7 Minuten.
Die Verteilungsfunktion F von X steigt in [0;7] linear an.
a) Bestimme die Gleichung der Dichtefunktion f von X und interpretiere den Wert F(1)!
b) Begründe die Richtigkeit der folgenden Gleichung: P(1<X<7)=1-F(1)!  
Rechengang und Lösung:

Answer 1

Bitte trage doch zunächst auch selbst etwas bei und mache ein paar Vorschläge, oder stelle konkrete Fragen zu der Aufgabe!

Answer 2

Aloha :)

a) Die Verteilungsfunktion $F(x)$ gibt hier in der Aufgabe an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Gespräch weniger als $x$ Minuten dauert. Da die maximale Gesprächsdauer $x=7$ Minuten beträgt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gespräch weniger als $7$ Minuten dauert genau $1$, das heißt $F(7)=1$. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gepsräch $x=0$ Minuten dauert ist gleich $0$, denn dann gibt es ja gar kein Gespräch, das heißt $F(0)=0$.

Wir wissen weiter, dass die Verteilungsfunktion $F(x)$ im Intervall $[0|7]$ linear ansteigt, es handelt sich also um eine Gerade. Mit $F(7)=1$ und $F(0)=0$ kennen wir zwei Punkte dieser Geraden und können daraus die Geradengleichung aufstellen:$$F(x)=\frac{F(7)-F(0)}{7-0}\cdot x+F(0)=\frac{1-0}{7-0}\cdot x+0=\frac{1}{7}x$$

~plot~ 1/7*x*(x<=7) ; [[0|8|0|1]] ~plot~

Der Wert $F(1)=\frac{1}{7}\approx14,3\%$ bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für eine maximale Gesprächsdauer von $1$ Minute bei $14,3\%$ liegt. Die Dichtefunktion $f(x)$ ist die Ableitung der Veteilungsfunktion $F(x)$, das heißt:$$f(x)=F'(x)=\frac{1}{7}$$

~plot~ 1/7*(x<=7) ; [[0|8|0|0,2]] ~plot~

b) Die Wahrscheinlichkeit $F(1<x<7)$, dass ein Gespräch zwischen $1$ und $7$ Minuten dauert, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass es maximal $7$ Minunten dauert minus der Wahrscheinlichkeit, dass es maximal $1$ Minute dauert. Wegen $F(7)=1$ bedeutet das:$$F(1<x<7)=F(x=7)-F(x=1)=F(7)-F(1)=1-F(1)$$

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