Aloha :)
a) Die Verteilungsfunktion F(x) gibt hier in der Aufgabe an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Gespräch weniger als x Minuten dauert. Da die maximale Gesprächsdauer x=7 Minuten beträgt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gespräch weniger als 7 Minuten dauert genau 1, das heißt F(7)=1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gepsräch x=0 Minuten dauert ist gleich 0, denn dann gibt es ja gar kein Gespräch, das heißt F(0)=0.
Wir wissen weiter, dass die Verteilungsfunktion F(x) im Intervall [0∣7] linear ansteigt, es handelt sich also um eine Gerade. Mit F(7)=1 und F(0)=0 kennen wir zwei Punkte dieser Geraden und können daraus die Geradengleichung aufstellen:F(x)=7−0F(7)−F(0)⋅x+F(0)=7−01−0⋅x+0=71x
~plot~ 1/7*x*(x<=7) ; [[0|8|0|1]] ~plot~
Der Wert F(1)=71≈14,3% bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für eine maximale Gesprächsdauer von 1 Minute bei 14,3% liegt. Die Dichtefunktion f(x) ist die Ableitung der Veteilungsfunktion F(x), das heißt:f(x)=F′(x)=71
~plot~ 1/7*(x<=7) ; [[0|8|0|0,2]] ~plot~
b) Die Wahrscheinlichkeit F(1<x<7), dass ein Gespräch zwischen 1 und 7 Minuten dauert, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass es maximal 7 Minunten dauert minus der Wahrscheinlichkeit, dass es maximal 1 Minute dauert. Wegen F(7)=1 bedeutet das:F(1<x<7)=F(x=7)−F(x=1)=F(7)−F(1)=1−F(1)