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Die Zufallsvariable X bezeichnet die voraussichtliche Gesprächsdauer (in Minuten) eines Gesprächs bei einer Telefonhotline. Die maximale Gesprächsdauer ist 7 Minuten.
Die Verteilungsfunktion F von X steigt in [0;7] linear an.
a) Bestimme die Gleichung der Dichtefunktion f von X und interpretiere den Wert F(1)!
b) Begründe die Richtigkeit der folgenden Gleichung: P(1<X<7)=1-F(1)!  
Rechengang und Lösung:

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Bitte trage doch zunächst auch selbst etwas bei und mache ein paar Vorschläge, oder stelle konkrete Fragen zu der Aufgabe!

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Aloha :)

a) Die Verteilungsfunktion F(x)F(x) gibt hier in der Aufgabe an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Gespräch weniger als xx Minuten dauert. Da die maximale Gesprächsdauer x=7x=7 Minuten beträgt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gespräch weniger als 77 Minuten dauert genau 11, das heißt F(7)=1F(7)=1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gepsräch x=0x=0 Minuten dauert ist gleich 00, denn dann gibt es ja gar kein Gespräch, das heißt F(0)=0F(0)=0.

Wir wissen weiter, dass die Verteilungsfunktion F(x)F(x) im Intervall [07][0|7] linear ansteigt, es handelt sich also um eine Gerade. Mit F(7)=1F(7)=1 und F(0)=0F(0)=0 kennen wir zwei Punkte dieser Geraden und können daraus die Geradengleichung aufstellen:F(x)=F(7)F(0)70x+F(0)=1070x+0=17xF(x)=\frac{F(7)-F(0)}{7-0}\cdot x+F(0)=\frac{1-0}{7-0}\cdot x+0=\frac{1}{7}x

~plot~ 1/7*x*(x<=7) ; [[0|8|0|1]] ~plot~

Der Wert F(1)=1714,3%F(1)=\frac{1}{7}\approx14,3\% bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für eine maximale Gesprächsdauer von 11 Minute bei 14,3%14,3\% liegt. Die Dichtefunktion f(x)f(x) ist die Ableitung der Veteilungsfunktion F(x)F(x), das heißt:f(x)=F(x)=17f(x)=F'(x)=\frac{1}{7}

~plot~ 1/7*(x<=7) ; [[0|8|0|0,2]] ~plot~

b) Die Wahrscheinlichkeit F(1<x<7)F(1<x<7), dass ein Gespräch zwischen 11 und 77 Minuten dauert, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass es maximal 77 Minunten dauert minus der Wahrscheinlichkeit, dass es maximal 11 Minute dauert. Wegen F(7)=1F(7)=1 bedeutet das:F(1<x<7)=F(x=7)F(x=1)=F(7)F(1)=1F(1)F(1<x<7)=F(x=7)-F(x=1)=F(7)-F(1)=1-F(1)

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Vielen lieben Dank!!!

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