Ebene in Koordinatenform umwandeln?

Question

Aufgabe: Bestimmen sie die Koordinatengleichung der Ebene: (10/2/0)+r*(8/6/0)+s*(1/7/10)

Problem/Ansatz:

… Ich habe es versucht mit dem Kreuzprodukt zu bilden und hab als Ergebnis 60x+80z+50y=d raus. Kann jemand bitte überprüfen, ob es richtig ist?

Answer 1

Hallo,

es ist \(E: \vec{x}*\vec{n}=\begin{pmatrix} 10\\2\\0 \end{pmatrix}*\vec{n}\), wobei \(\vec{n}=\begin{pmatrix} 8\\6\\0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1\\7\\10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 60\\-80\\50 \end{pmatrix}\), also insgesamt:$$E: 60x-80y+50z=440$$

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Vielen Dank. Kann es sein, dass man eine andere Lösung rauskriegt, wenn man ein anderes Verfahren benutz? Im Lösungsbuch steht als Ergebnis: 6x-8y+5z=44

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Sry Benutzt*

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Hallo,

60x-80y+50z=440  | : 10

6x-8y+5z=44

Die beiden Ebenen sind also äquivalent. Man teilt die Ebene eigentlich immer noch durch den ggT, das habe ich nicht gemacht - sollte man aber, das macht den weiteren Umgang mit der Ebene leichter.

PS: Du hättest auch vorher den Normalenvektor vereinfachen können, denn nur die Richtung, in die der Vektor zeigt ist ausschlaggebend. Die Länge des Normalenvektors ist irrelevant.

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Sind also beide Lösingen richtig?

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Ja, beide Lösungen sind richtig (weil äquivalent). Teile aber lieber nochmal durch 10, das ist schöner.

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Ok, Dankeschön

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Keine Ursache.

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Hallo,

dividiere die Gleichung doch einfach durch 10.

:-)

Answer 2

Das ist (bis auf das Vorzeichen von 80) richtig und d ist das Produkt (10/2/0)·(60/-80/40).

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In der zweiten Zeile des Normalenvektors sollte -80 stehen.

Answer 3

Kann jemand bitte überprüfen, ob es richtig ist?

Ja, das kannst du überprüfen.

Verwende die Parameterdarstellung um einen Punkt zu bestimmen, der in der Ebene liegt. Setze dazu Werte für r und s ein.

Setze den Punkt in die Koordinatengleichung ein. Wenn dadurch eine gültige Gleichung entsteht, dann liegt der Punkt in der durch die Koordinatengleichung beschreibenen Ebene.

Wenn du dass mit drei Punkten machst, die nicht auf einer Geraden liegen, dann kannst du sicher sein, dass die Koordinatengleichung korrekt ist. Als Werte für r und s bieten sich deshalb an

• r = s = 0
• r = 0, s = 1
• r = 1, s = 0

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Vielen Dank für die Antwort