Zusammenfassen von Ausdrücken mit x im Exponenten und Faktor im ln ()

Question

Moin Freunde!

Kann mir jemand erklären, wie ich von meinem Stand auf die Lösung komme?

Ich weiß nämlich nicht wie man das so zusamenfassen kann..

Vielen Dank für Antworten!

Aufgabe:

 \( f(x)=r^{2 x} * t^{2 x} \)
 \(\rightarrow f^{\prime}(x)=2 \ln (r t)(r t)^{2 x} \)

Answer 1

\(\begin{aligned} & t^{2x}\cdot\ln(t)\cdot2\cdot r^{2x}+r^{2x}\cdot\ln(r)\cdot2\cdot t^{2x}\\ =\, & r^{2x}\cdot\ln(r)\cdot2\cdot t^{2x}+t^{2x}\cdot\ln(t)\cdot2\cdot r^{2x} &  & \text{wegen Kommutativgesetz der Addition}\\ =\, & 2\cdot\ln(r)\cdot r^{2x}\cdot t^{2x}+2\cdot\ln(t)\cdot r^{2x}\cdot t^{2x} &  & \text{wegen Kommutativgesetz der Multiplikation}\\ =\, & 2\cdot\left(\ln(r)+\ln(t)\right)\cdot r^{2x}\cdot t^{2x} &  & \text{wegen Distributivgesetz}\\ =\, & 2\cdot\ln(rt)\cdot r^{2x}\cdot t^{2x} &  & \text{wegen Logarithmusgestzen}\\ =\, & 2\cdot\ln(rt)\cdot\left(rt\right)^{2x} &  & \text{wegen Potenzgesetzen} \end{aligned}\)

Answer 2

Erst mal ausklammern gibt  2t^(2x)*r^(2x) * (ln(t)+ln(r))

Log-Gesetz gibt den Rest   2t^(2x)*r^(2x) * ln(t*r)

und Potenzgesetz      2(t*r)^(2x) * ln(t*r)