0 Daumen
7,1k Aufrufe
Hallo,

ich komme bei den Aufgaben leider nicht weiter: (z,w element C)

1) (3+7i)²

     Bei dieser Aufgabe wäre meine Lösung:

     = 9 + 21i + 21i + 49i²

     = 9 + 42i - 49

     = -40 + 42i   Somit wäre dann Re(z)= -40 und Im(z)=42

 

2)  i^n  (n element N)

3) z²

4) 1/z, (z ungleich 0)

5) z+w, zw

 

Wäre super wenn mir jemand helfebn könnte :)
Gefragt von

1 Antwort

+1 Punkt
 
Beste Antwort

1) sieht ok aus.

 

2)  i^n  (n element N)

Es kommen hier immer wieder (sog. zyklisch) die gleichen 4 Zahlen vor. Die 4 Fällen entsprechen i^(n modulo 4)), ich schreibe 4k, 4k+1 , 4k+2 und 4k + 3. (k Element N)

Vorüberlegung:

Wegen i^4 = 1 ist auch i^(4k) = 1  k Elem. N.        Re(i^(4k)) = 1, Im(i^(4k)) =0

i^(1+ 4k) = i*i^(4k) = i* 1 = i              Re(i^(1+4k)) = 0 , Im (i^(1+ 4k) = 1

i^(2+ 4k) =i^2 * i^(4k) = -1*1 = -1            Re(i^(2+4k)) = -1, Im(i^(2 + 4k)) =0 

i^(3+ 4k) =i^3 * i^(4k) = -i*1 = -i            Re(i^(3+4k)) = 0, Im(i^(3 + 4k)) = -i

 



3) z²

Annahme: z=x+ iy

z^2 = (x+ iy)^2 = x^2 + 2ixy - y^2

Re (z^2) = x^2 - y^2         Im(z^2) = 2xy

Re (z^2) = (Re z)^2 - (Im z)^2                   Im(z^2) = 2*(Re z)( Imz)
 

4) 1/z, (z ungleich 0)

Annahme z= x + iy

1/z = 1/(x+iy)       |Nun muss das i aus dem Nenner. Erweiterung mit x-iy. Schreib das ab mit Bruchstrichen!

= (x-iy)/((x+iy)*(x-iy))

=(x-iy)/(x^2 + y^2)

Re (1/z) = x / (x^2 + y^2)                 Im(1/z) = -y/ (x^2 + y^2)

Re(1/z) = (Re z) / ((Re z)^2 +  (Im z)^2)

Im (1/z) = (- Im z) / ((Re z)^2 +  (Im z)^2)



5) z+w, zw

Für z = x + iy und w = u + iv gilt

z+w = x + iy + u + iv

Re (z+w) = x + u                  Im (z+ w) = y + v

Re (z+w) = Re z + Re w                  Im (z+ w) = Im z + Im w

zw = (x + iy) (u+ iv) 

= xu - yv + (xv + yu)i

Re (zw) = xu - yv 

Re(zw) = (Re z)(Re w) - (Im z)(Im w)

Im (zw) = (Re z)(Im w) + (Im z)(Im w)

 

Beantwortet von 142 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...