1) sieht ok aus.
2) i^n (n element N)
Es kommen hier immer wieder (sog. zyklisch) die gleichen 4 Zahlen vor. Die 4 Fällen entsprechen i^{n modulo 4}), ich schreibe 4k, 4k+1 , 4k+2 und 4k + 3. (k Element N)
Vorüberlegung:
Wegen i^4 = 1 ist auch i^{4k} = 1 k Elem. N. Re(i^{4k}) = 1, Im(i^{4k}) =0
i^{1+ 4k} = i*i^{4k} = i* 1 = i Re(i^{1+4k}) = 0 , Im (i^{1+ 4k} = 1
i^{2+ 4k} =i^2 * i^{4k} = -1*1 = -1 Re(i^{2+4k}) = -1, Im(i^{2 + 4k}) =0
i^{3+ 4k} =i^3 * i^{4k} = -i*1 = -i Re(i^{3+4k}) = 0, Im(i^{3 + 4k}) = -i
3) z²
Annahme: z=x+ iy
z^2 = (x+ iy)^2 = x^2 + 2ixy - y^2
Re (z^2) = x^2 - y^2 Im(z^2) = 2xy
Re (z^2) = (Re z)^2 - (Im z)^2 Im(z^2) = 2*(Re z)( Imz)
4) 1/z, (z ungleich 0)
Annahme z= x + iy
1/z = 1/(x+iy) |Nun muss das i aus dem Nenner. Erweiterung mit x-iy. Schreib das ab mit Bruchstrichen!
= (x-iy)/((x+iy)*(x-iy))
=(x-iy)/(x^2 + y^2)
Re (1/z) = x / (x^2 + y^2) Im(1/z) = -y/ (x^2 + y^2)
Re(1/z) = (Re z) / ((Re z)^2 + (Im z)^2)
Im (1/z) = (- Im z) / ((Re z)^2 + (Im z)^2)
5) z+w, zw
Für z = x + iy und w = u + iv gilt
z+w = x + iy + u + iv
Re (z+w) = x + u Im (z+ w) = y + v
Re (z+w) = Re z + Re w Im (z+ w) = Im z + Im w
zw = (x + iy) (u+ iv)
= xu - yv + (xv + yu)i
Re (zw) = xu - yv
Re(zw) = (Re z)(Re w) - (Im z)(Im w)
Im (zw) = (Re z)(Im w) + (Im z)(Im w)
