Analysis: Differenzierbarkeit und partielle Ableitungen!

Question

Aufgabe:

\( \operatorname{Sei} \beta \in \mathbb{R} \) und \( h: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) gegeben durch \( h(a)=\|a\|_{2}^{\beta} a \)
a) Für welche Werte von \( \beta \) ist \( f \) in 0 differenzierbar?
b) Für welche Werte von \( \beta \) und \( i \in\{1, \ldots, n\} \) existiert die partielle Ableitung \( \frac{\partial^{2}}{\partial a_{i}^{2}} h ? \)

Problem/Ansatz:

Ich brauche eure Hilfe! ich kann diese alte Klausur-Aufgabe nicht lösen !

Comments

Kannst du \(\partial _j h(a)\) berechnen?

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Hallo Master994,

spam hier mal net rum. Du hast die Frage ordentlich gestellt, aber keine Ansätze geliefert. Vielleicht hat sich deshalb bisher keiner gefunden, der die Frage komplett beantworten möchte.

Answer 1

Hallo,

ich würde sagen, dass \(\partial _j h(a)\) gegeben ist durch:$$\partial _j h(a)=\partial _j(||a||_2^{\beta}a) =\partial _j(||a||_2^{\beta})a+||a||_2^{\beta}\partial _j(a)\\ =\beta a_j(a_1^2+\cdots +a_n^2)^{\beta /2 -1}a+||a||_2^{\beta}e_j=\beta a_j\frac{||a||_2^{\beta}}{||a||_2^2}+||a||_2^{\beta}e_j \\ =||a||_2^{\beta}\left(\beta a_j\frac{1}{||a||_2^2}+e_j\right)$$ Dann haben wir ja offensichtlich ein Problem, wenn \((a_1,...,a_n)=(0,...,0)\) ist. Welches \(\beta \in \mathbb{R}\) könnte man wählen, um das zu verhindern?

Comments

Ja ,danke ,das habe ich verstanden ! und ist b) genauso oder gibt was noch anderes ?

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Zeig doch mal, was du denkst!

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mache ich neue Ableitung aus dem a) ?!

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Wie bitte?       .

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ich meinte ,dass es im Prinzip wie bei a) ist aber ich muss zwei mal ableiten!

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Genau, schau mal was passiert.