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Aufgabe:

Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der folgenden Potenzreihen.


(1) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{3^{k+2}}{2^{k}} x^{k} \)


(2) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(2+x)^{2 k}}{\left(2+\frac{1}{k}\right)^{k}} \)


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Aloha :)

$$\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{3^{k+2}}{2^k}\,x^k=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\,x^k\quad;\quad a_k:=\frac{3^{k+2}}{2^k}$$Zur Bestimmung des Konvergenzradius betrachten wir:$$\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\left|\frac{3^{k+2}}{2^k}\cdot\frac{2^{k+1}}{3^{(k+1)+2}}\right|=\frac{2}{3}$$Die Reihe konvergiert daher für \(|x|<\frac{2}{3}\).

$$\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(2+x)^{2k}}{\left(2+\frac{1}{k}\right)^k}=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\,\left[(x+2)^2\right]^k\quad;\quad a_k:=\frac{1}{\left(2+\frac{1}{k}\right)^k}$$Zur Bestimmung des Konvergenzradius betrachten wir:$$\frac{1}{\sqrt[k]{\left|a_k\right|}}=\sqrt[k]{{\left(2+\frac{1}{k}\right)^k}}={2+\frac{1}{k}}\;\stackrel{k\to\infty}{\to}\;2$$Die Reihe konvergiert daher, wenn \((x+2)^2<2\) gilt, das heißt für $$-2-\sqrt2<x<-2+\sqrt2$$

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Danke Tschakabumba, kannst du mir bei dieser Aufgabe weiterhelfen :)

https://www.mathelounge.de/735676/konvergenzbereich-bestimmen-potenzreihe

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Hallo

a) ziehe  3^2 aus der Summe und du hast an=(3/2)^n

b) Wurzelkriterium

Gruß lul

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