Konvergenz überprüfen für eine Folge

Question

Aufgabe:

Konvergenz Überprüfung

Problem/Ansatz:

Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz. n∈ℕ.

$\frac{(-1)n}{\sqrt[3]{n}}$

Könnte mir jemand in kleinen Schritten erklären, wie man das macht? Ich verstehe das mit der Wurzel nicht.

Answer 1

Hallo

 statt dritte Wurzel schreib n^1/3, dann steht da -(n/n^1/3)=-n^2/3

es sei denn da steht (-1)ⁿ/n^1/3, wenn n beliebig groß wird dann auch die dritte Wurzel also geht die Folge gegen 0

überprüfen : es gibt ein N so dass |(-1)ⁿ/n^1/3-0|<ε, für alle n>N dann hast du 1<ε³*n oder N>=1/ε³

Gruß lul

Answer 2

Sei $a_n:=\frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n}}$, es ist zu vermuten, dass $a_n\to 0$ für $n\to \infty$.

Für alle $\varepsilon >0$, wähle $N>\frac{1}{\varepsilon^3}$. Dann gilt für alle $n> N$:$$\Large \left|\frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n}}\right|=\frac{1}{n^{1/3}}< \frac{1}{N^{1/3}}=\frac{1}{\left(\frac{1}{\varepsilon^3}\right)^{1/3}}=\varepsilon . \quad \Box$$