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Aufgabe:

Konvergenz Überprüfung


Problem/Ansatz:

Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz. n∈ℕ.

(1)nn3 \frac{(-1)n}{\sqrt[3]{n}}


Könnte mir jemand in kleinen Schritten erklären, wie man das macht? Ich verstehe das mit der Wurzel nicht.

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Hallo

 statt dritte Wurzel schreib n1/3, dann steht da -(n/n1/3)=-n2/3

es sei denn da steht (-1)n/n1/3, wenn n beliebig groß wird dann auch die dritte Wurzel also geht die Folge gegen 0

überprüfen : es gibt ein N so dass |(-1)n/n1/3-0|<ε, für alle n>N dann hast du 1<ε3*n oder N>=1/ε3

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀
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Sei an : =(1)nn3a_n:=\frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n}}, es ist zu vermuten, dass an0a_n\to 0 für nn\to \infty.

Für alle ε>0\varepsilon >0, wähle N>1ε3N>\frac{1}{\varepsilon^3}. Dann gilt für alle n>Nn> N:(1)nn3=1n1/3<1N1/3=1(1ε3)1/3=ε.\Large \left|\frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n}}\right|=\frac{1}{n^{1/3}}< \frac{1}{N^{1/3}}=\frac{1}{\left(\frac{1}{\varepsilon^3}\right)^{1/3}}=\varepsilon . \quad \Box

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