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Aufgabe:

Die Folge (xn)n∈ℕ0 sei definiert durch

x0:= \( \sqrt{2} \), xn+1 := \( \sqrt{2+xn} \), n ∈ ℕ.

Prüfen Sie, ob die Folge konvergiert und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert.

Das ist die letzte Aufgabe meines Übungsblattes und ich komme an der einfach nicht weiter.

von

Sollte in der Wurzel nicht "xn" stehen?

Ja sollte es hab da wohl vergessen das dann so hinzuschreiben ^^

Ok, dann bin ich der Meinung, dass sie konvergiert. Und der Grenzwert ist 2,

denn für n nach znendlich gilt:

x= Wurzel(2+x) , das gilt für x=2.

Weil 2=Wurzel 4.

Leider kann ich nicht zeigen, warum die Folge konvergiert.

Zeige einfach, dass die Folge beschränkt und Monoton ist per Induktions zum Beispiel.

1 Antwort

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Beste Antwort

Aloha :)

Wir betrachten die rekursiv definierte Folge$$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\quad;\quad x_0=\sqrt 2$$

1) Beschränktheit

Da die Wurzelfunktion stets \(\ge0\) ist, gilt \((x_n)\ge0\) für alle \(n\in\mathbb N_0\). Die Folge ist also nach durch \(0\) nach unten beschränkt.

Die Folge ist aber auch nach oben beschränkt, nämlich durch den \((x_n)\le2\) für alle \(n\in\mathbb N_0\). Wir zeigen das druch vollständige Induktion. Die Verankerung bei \(n=0\) ist klar, denn \(x_0=\sqrt2\le2\). Im Induktionsschritt rechnen wir so:$$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\stackrel{\text{(Ind.Vor.)}}{\le}\sqrt{2+2}=\sqrt4=2\quad\checkmark$$Für alle Folgenglieder gilt also:\(\quad 0\le x_n\le2\quad\text{für alle }n\in\mathbb N_0\).

2) Monotonie

Wir zeigen, dass die Folge monoton wächst:$$x_{n+1}-x_n=\sqrt{2+x_n}-x_n=\frac{(\overbrace{\sqrt{2+x_n}}^{=a}-\,\overbrace{x_n}^{=b})(\overbrace{\sqrt{2+x_n}}^{=a}+\,\overbrace{x_n}^{=b})}{(\sqrt{2+x_n}+x_n)}=\frac{\overbrace{2+x_n}^{=a^2}-\,\overbrace{x_n^2}^{=b^2}}{\sqrt{2+x_n}+x_n}$$$$\phantom{x_{n+1}-x_n}=\frac{\frac94-\frac14+x_n-x_n^2}{\sqrt{2+x_n}+x_n}=\frac{\frac94-\left(x_n^2-x_n+\frac14\right)}{\sqrt{2+x_n}+x_n}=\frac{\frac94-\left(x_n-\frac12\right)^2}{\sqrt{2+x_n}+x_n}\ge0$$Wegen \(x_n\le 2\) ist \((x_n-\frac12)^2\le\frac94\), sodass der Zähler \(\ge0\) ist. Wegen \(x_n\ge0\) ist auch der Nenner positiv, sodass der Term \(\ge0\) ist.

Daher ist \(x_{n+1}\ge x_n\) und die Folge monoton wachsend.

3) Grenzwert

Jede beschränkte und monotone Folge konvergiert. Da dies auf unsere Folge zutrifft, können wir ihren Grenzwert \(x\) wie folgt bestimmen:$$\left. x=\sqrt{2+x}\quad\right|\text{quadrieren}$$$$\left. x^2=2+x\quad\right|-x+\frac14$$$$\left. x^2-x+\frac14=\frac94\quad\right|\text{2-te binomische Formel}$$$$\left. \left(x-\frac12\right)^2=\frac94\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left. x-\frac12=\pm\frac32\quad\right|+\frac12$$$$x=\frac12\pm\frac32$$$$x_1=-1\quad;\quad x_2=2$$Die Lösung \(x=-1\) scheidet aus, weil \(0\le x\le2\) gelten muss.

Bleibt als Grenzwert \(x=2\)

von 96 k 🚀

Vielen dank für die Antwort.
Ich muss auf jeden Fall mich noch mehr mit der Induktion auseinandersetzten.
Ist für mich noch etwas kompliziert, da für mich gefühlt sehr divergiert von dem wie ich bis jetzt Mathe gemacht habe.
Ich hätte jedoch noch eine Frage zu der \( \frac{9}{4} \) die du gewählt hast.
War das jetzt willkürlich gewählt? Ich verstehe dass \( \frac{9}{4} \) - \( \frac{1}{4} \) = \( \frac{8}{4} \) = 2 ergeben, aber hätte man theoretisch auch eine andere Zahlen wie z.B.
\( \frac{10}{4} \) und \( \frac{2}{4} \) wählen können?

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