Aloha :)
Seien \(A\in\mathbb{K}^{m\times n}, B\in\mathbb{R}^{n\times r},C\in\mathbb{R}^{n\times r}\) gegeben. Beachte bitte, dass ich an Stelle von \(B'\) lieber \(C\) schreibe, weil man das dann besser von \(B\) unterscheiden kann. Wir betrachten die Komponente \(ik\) der Produktmatrix. Seien also \(i=1,\ldots,m\) und \(k=1,\ldots,r\) beliebig aber fest, dann gilt:$$[A(B+C)]_{ik}=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}(B+C)_{lk}=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}(B_{lk}+C_{lk})$$$$=\sum\limits_{l=1}^n \left(A_{il}B_{lk}+A_{il}C_{lk}\right)=\sum\limits_{l=1}^nA_{il}B_{lk}+\sum\limits_{l=1}^n A_{il}C_{lk}=(AB)_{ik}+(AC)_{ik}$$$$\Rightarrow\quad A(B+C)=AB+AC$$
Im zweiten Teil verfahren wir nach demselben Prinzip:$$[A(\lambda B)]_{ik}=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}(\lambda B)_{lk}=\lambda\sum\limits_{l=1}^n A_{il}B_{lk}=\lambda(AB)_{ik}$$$$[A(\lambda B)]_{ik}=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}(\lambda B)_{lk}=\sum\limits_{l=1}^n (\lambda A)_{il}B_{lk}=((\lambda A)B)_{ik}$$$$\Rightarrow\quad A(\lambda B)=\lambda(AB)=(\lambda A)B$$
