Igor würfelt und sagt er habe 1 gewürfelt

Question

Aufgabe:

Igor würfelt und sagt er habe 1 gewürfelt
- In 2/3 der Fälle sagt er die Wahrheit
- Wie wahrscheinlich ist es dass er 1 sagt und wirklich 1 gewürfelt hat

Problem/Ansatz:

Habe mittels Satz des Bayes 2/3 oder 1/6 als Lösung erhalten. Das Problem ist nur dass ich nicht genau verstehe in welcher Reihenfolge ich das alles zusammenrechnen muss.

Answer 1

Offensichtlich sagt Igor ja immer er habe die 1 gewürfelt. Und wenn er in 2/3 der Fälle die Wahrheit sagt hat er auch in 2/3 aller Fälle die 1 Gewürfelt und dies auch gesagt.

Comments

Offensichtlich sagt Igor ja immer er habe die 1 gewürfelt.

Das ist nicht nur wenig offensichtlich sondern sogar falsch.

Je nach Lesart der Aufgabe kommen als Antwort 1/9 oder 2/7 infrage.

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Je nach Lesart der Aufgabe kommen als Antwort 1/9 oder 2/7 infrage.

Kannst du das bitte erklären?

Ok, wir nehmen an, dass der Würfel ungezinkt ist. Aber ansonsten hinterlässt die Aufgabenstellung einen großen Interpretationsspielraum:

Modell 1: Nach jedem Wurf nennt Igor unabhängig von der gewürfelten Augenzahl mit Wkt 2/3 diese gewürfelte Augenzahl, mit 1/3 eine andere Augenzahl. Zusätzlich angenommen, dass letzteres gleichverteilt in der Restmenge geschieht, macht das Wkt 1/15 für jede der anderen Augenzahlen.

In Modell 1 ergibt sich dann tatsächlich Wkt 2/3 als Antwort. Aber vielleicht hat Igor ja eine ganz andere Antwortstrategie:

Modell 2: Nach Wurf 1 antwortet Igor immer auch 1. Würfelt er eine andere Zahl, dann nennt er diese mit Wkt 3/5, mit Wkt 2/5 nennt er hingegen 1.

Auch hier in Modell 2 sagt er mit Wkt 2/3 die Wahrheit, aber die gesuchte Wkt ist hier 1/3. Genauso lassen sich noch weitere Modelle überlegen, mit anderen Antwortwahrscheinlichkeiten... Kurzum, die Aufgabenstellung beschreibt das Antwortverhalten von Igor nicht ausreichend genau, um die Frage beantworten zu können.

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Meine Antwort wäre doch nicht verkehrt unter den Annahmen die ich gemacht habe. Die Annahmen sind also zu eingeschränkt?

Dann ist die Frage was man für Annahmen treffen soll. Es wird mit einem regulären Würfel gewürfelt der in 1/6 der Fälle eine 6 anzeigt.

Was kann Igor sagen? Kann igor nur sagen er hat eine 1 oder er hat keine 1 gewürfelt oder kann er auch sagen er hat eine 5 gewürfelt?

Könnte ich nicht auch so Rechnen

P(würfelt 1) = 1/6
P(sagt er habe 1 gewürfelt) = p

P(würfelt 1 UND sagt er habe 1 gewürfelt) + P(würfelt keine 1 UND sagt er habe keine 1 gewürfelt) = 1/6·p + 5/6·(1 - p) = 2/3 → p = 1/4

P(würfelt 1 UND sagt er habe 1 gewürfelt) = 1/6·1/4 = 1/24

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muss überarbeitet werden

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Wenn  Wie wahrscheinlich ist es dass er 1 sagt und wirklich 1 gewürfelt hat  die Fragestellung ist, dann lautet die Antwort 1/6 * 2/3 =  1/9  denn so berechnet man die Wahrscheinlichkeit dieses zusammengesetzten Ereignisses.

Wenn aber die W. gesucht ist, dass er unter Berücksichtigung seiner Ansage "1" tatsächlich eine 1 gewürfelt hat, dann ist nach Bayes  (1/6 * 2/3) / (1/6 * 2/3 + 5/6 * 1/15)  =  2/3  zu rechnen.

(Meine obige Antwort "2/7" enthielt einen Interpretationsfehler.)

Answer 2

Aussagen
Igor würfelt 1 mal  und sagt dann er habe eine 1 gewürfelt.

In 1 von 6 Fällen hat Igor tatsächlich eine 1 gewürfelt

In 5/6 der Fälle hat er gelogen

Dies widerspricht der Aussage
- In 2/3 der Fälle sagt er die Wahrheit
und in 1/3 der Fälle lügt er

Mal lügt er in 2/3 der Fälle, mal in 5/6.

Dies widerspricht sich.

Dies ist die Kopenhagener Deutung der Aussagen.