Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen \( n \geq 4 \) erfüllt ist:$$ 2^{n} \geq n^{2} $$
Könnt Ihr mir sagen, was ich hier falsch gemacht habe?
Den Induktionsanfang solltest du für n=4 machen:
24≥42.
Für den Induktionsschluss musst du einen Hilfssatz beweisen:
2n≥2n+1
Wenn das bewiesen ist, wird diese Ungleichung zur Induktionsvoraussetzung addiert: 2n+2n≥n2+2n+1
oder 2·2n≥(n+1)2
oder 2n+1≥(n+1)2.
Es braucht keinen Hilfssatz: 2n+1 = 2·2n ≥ 2·n2 - (n+1)·(n-3) - 2 = (n+1)2.Außerdem ist in deiner letzten Zeile das Gleichheitszeichen falsch.
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