Wahr oder Falsch? (f · g stetig in x0 ⇒ f stetig in x0 oder g stetig in x0)

Question

Aufgabe:

Seien f : R → R und g : R → R Funktionen. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche
sind falsch? Begrunden Sie ihre Antwort.
a) f · g stetig in x0 ⇒ f stetig in x0 oder g stetig in x0.
b) f · g nicht differenzierbar in x0 ⇒ f oder g nicht differenzierbar in x0.

Bei b) hätte ich das Problem umformuliert zu: "f und g diffbar in x0 → f*g diffbar in x0" Die Aussage ist wahr, weil Produkte diffbarer Funktionen diffbar sind

Bei a): f(x)=1 , g(x)=1 für x>0 und g(x)=0 für x<=0. Das Produkt der Beiden wäre dann doch nicht stetig, oder?

Ich freue mich auf eine Antwort:)

Answer 1

Hallo Ferry,

deine Überlegung zu b) ist gut.

Für a) betrachte mal \( x_{0} = 0 \) und die Funktionen \( f(x) := \begin{cases} 42 & x = 0\\0 & \text{sonst} \end{cases}\) und \( g(x) = \begin{cases} 0 & x = 0\\42 & \text{sonst} \end{cases} \). Beide sind natürlich unstetig in \( x_0 \). Wie sieht ihr Produkt aus?

Comments

Das Produkt wäre stetig :D danke

Answer 2

Bei a) soll das f konstant = 1 auf ganz ℝ sein???

Dann klappt es doch nicht.

Besser wohl so als Gegenbeispiel

g(x)=1 für x>0 und g(x)=0 für x<=0.  und

f(x)=0 für x>0 und f(x)=1 für x<=0.

Dann ist das Produkt konstant = 0 , also überall stetig.