Bestimmen Sie, für welche t die Matrix invertierbar ist

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie, für welche \( t \in \mathbb{R} \) die Matrix
$$ A_{t}=\left(\begin{array}{cccc} 2 t & 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 2 t \\ 1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & 2 & -1 \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}_{4 \times 1}(\mathbb{R}) $$
invertierbar ist.

Problem/Ansatz:

Ich bin so vorgegangen, dass ich erstmal ganz normal die Determinante ausgerechnet habe, in Abhängigkeit von t. Damit habe ich ja dann eine Gleichung, die ungleich null sein sollte damit die Matrix invertierbar ist. Die Gleichung lautet 24t^2+10t+7. In anderen Beiträgen habe ich gesehen, dass dann die ts bestimmt wurden für die die Gleichung gleich null ist. Aber genau das sollte sie doch nicht sein oder? Und wenn doch, weiß ich nicht wie ich die Aufgabe lösen soll, denn meine Gleichung hat für 0 keine Lösung.

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Die Determinante einer \(n\times n\)-Matrix gibt das \(n\)-dimensionale Volumen an, das von den Zeilen- bzw. Spaltenvektoren aufgespannt wird. Wenn dieses Volumen \(=0\) ist, kann man die Matrix nicht zurück in eine Einheitsmatrix transformieren, weil Information über mindestens eine Dimension fehlt. Daher ist eine Matrix genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante \(\ne0\) ist, denn nur dann spannen ihre Zeilen / Spalten den kompletten \(n\)-dimensionalen Raum auf.

Die Determinante hier lautet \(24t^2+10t+7\) und ist für alle \(t\in\mathbb R\) positiv. Also ist die Matrix für alle \(t\in\mathbb R\) invertierbar.

Comments

Vielen Dank!