Zeigen Sie: Ist A eine Matrix mit A^T = −A und ist n ungerade, so ist A nicht invertierbar.

Question

Es seien A ∈R^n×n und n ∈ℕ. Zeigen Sie: Ist A eine Matrix mit A^T = −A und ist n ungerade, so ist A nicht invertierbar.

Answer 1

Es gilt immer  det(A) = det( A^T )Unter der Voraussetzung alsodet(A) = det( - A ) =  det ( (-1) *  A ) = (-1)ⁿ * det (A)und wenn n ungerade ist, also

det(A) =  - 1  * det (A)  also   det (A) = 0  also A nicht invertierbar.